В прямоугольномтреугольнике АВС угол А=90 градусов, АВ=20см, высота АД=12см. Найдите АС и cos С
Дано:
- \( \triangle ABC \), прямоугольный в точке \( A \),
- угол \( A = 90^\circ \),
- \( AB = 20 \) см,
- высота \( AD = 12 \) см (опущена из \( A \) на \( BC \)),
- Нужно найти \( AC \) и \( \cos C \).
Обозначим:
- \( AB = 20 \) см,
- \( AD \) — высота, опущенная из \( A \) на гипотенузу \( BC \),
- \( BD = x \),
- \( DC = y \).
Поскольку \( AD \) — высота, делящая гипотенузу \( BC \) на два отрезка \( BD \) и \( DC \).
По свойствам прямоугольного треугольника и высоты из прямого угла:
\[ AD^2 = BD \times DC. \]
Также, из прямоугольных треугольников \( ABD \) и \( ADC \):
\[ AB^2 = AD \times BD, \] \[ AC^2 = AD \times DC. \]
Рассмотрим первые два соотношения подробнее:
\( AB^2 = AD \times BD \): \[ 20^2 = 12 \times BD \Rightarrow 400 = 12 \times BD, \] \[ BD = \frac{400}{12} = \frac{100}{3} \approx 33,33 \text{ см}. \]
Аналогично для \( AC \):
\[ AC^2 = AD \times DC. \]
Но нужно найти \( DC \). Из свойства высоты:
\[ AD^2 = BD \times DC, \] \[ 12^2 = \frac{100}{3} \times DC, \] \[ 144 = \frac{100}{3} \times DC, \] \[ DC = \frac{144 \times 3}{100} = \frac{432}{100} = 4,\!32 \text{ см}. \]
Теперь можем найти \( BC \):
\[ BC = BD + DC = \frac{100}{3} + 4.32 \text{ см}. \]
Переведем \( 4.32 \) в дробь: \( 4.32 = \frac{432}{100} = \frac{54}{12.5} \), или оставить в десятичном виде.
Чтобы сложение было проще, выразим \( BD \) в десятичной форме:
\[ BD = 33,\!33 \text{ см}. \]
Тогда:
\[ BC = 33,\!33 + 4,\!32 = 37,\!65 \text{ см}. \]
Теперь найдём \( AC \):
\[ AC^2 = AD \times DC = 12 \times 4,\!32 = 51,\!84, \] \[ AC = \sqrt{51,\!84} \approx 7,\!2 \text{ см}. \]
Чтобы найти \( \cos C \):
Тогда, так как \( \angle C \) — это угол у вершины \( C \) и противолежит катету \( AC \):
- гипотенуза \( BC \),
- катеты \( AB \) и \( AC \),
- \( \cos C = \frac{\text{прилежащий катет к } C}{\text{гипотенуза } BC} \).
Угол \( C \) — у вершины \( C \), около стороны \( AC \). Тогда:
\[ \cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{37,65} \approx 0,531. \]
Ответ:
\[ \boxed{ AC \approx 7,\!2\, \text{см}, \quad \cos C \approx 0,\!531. } \]
Если нужно более точное значение, можно оставить в виде:
\[ AC = \sqrt{AD \times DC} \approx 7,\!2\, \text{см}, \] \[ \cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{\sqrt{AB^2 + AC^2}} \quad \text{(по теореме Пифагора)}. \]
Проверим более точное выражение \( BC \):
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{400 + 51,84} = \sqrt{451,84} \approx 21,27\, \text{см}. \]
Тогда:
\[ \cos C = \frac{AB}{BC} = \frac{20}{21,27} \approx 0,94. \]
Итак, окончательный вариант:
\[ AC \approx 7,\!2\, \text{см}, \] \[ BC \approx 21,\!27\, \text{см}, \] \[ \cos C \approx 0,\!94. \]
