Решение

Давайте подробно решим каждую из указанных задач: --- ### Задача 1. Решить систему способом подстановки: \[ \begin{cases} x + 5y = 15 \quad (1) \\ 2x - y = 8 \quad (2) \end{cases} \] **Шаг 1. Выразим \(x\) из уравнения (1):** \[ x = 15 - 5y \] **Шаг 2. Подставим это выражение в уравнение (2):** \[ 2(15 - 5y) - y = 8 \] **Шаг 3. Раскроем скобки:** \[ 30 - 10y - y = 8 \] **Шаг 4. Объединим подобные слагаемые:** \[ 30 - 11y = 8 \] **Шаг 5. Вычтем 30 из обеих частей:** \[ -11y = 8 - 30 \] \[ -11y = -22 \] **Шаг 6. Разделим обе части на -11:** \[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \] **Шаг 7. Найдем \(x\):** \[ x = 15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \] **Ответ:** \[ \boxed{ x=5, \quad y=2 } \] --- ### Задача 2. Решить систему способом сложения: \[ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \quad (1) \\ 6x - 12y = 7 \quad (2) \end{cases} \] **Шаг 1. Обратим внимание на уравнения:** У второго уравнения есть коэффициенты, связанные с первым. В частности, умножим первое уравнение на 3 для сопоставления: \[ 3 \times (2x - 3y) = 3 \times 2 \] \[ 6x - 9y = 6 \] Теперь сравним это с уравнением (2): \[ 6x - 12y = 7 \] **Шаг 2. Вычтем первое из второго уравнения:** \[ (6x - 12y) - (6x - 9y) = 7 - 6 \] \[ 6x - 12y - 6x + 9y = 1 \] \[ -3y = 1 \] **Шаг 3. Решим для \(y\):** \[ y = -\frac{1}{3} \] **Шаг 4. Подставим \(y\) в одно из исходных уравнений, например, в уравнение (1):** \[ 2x - 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \] \[ 2x + 1 = 2 \] \[ 2x = 1 \] \[ x = \frac{1}{2} \] **Ответ:** \[ \boxed{ x= \frac{1}{2}, \quad y= -\frac{1}{3} } \] --- ### Задача 3. Построение уравнения прямой, проходящей через точки А(-2;2) и В(1;-4) **Шаг 1. Найдём наклон прямой \(k\):** \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 2}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2 \] **Шаг 2. Составим уравнение прямой по формуле:** \[ y = kx + b \] Подставим одну из точек, например, точку А(-2;2): \[ 2 = -2 \times (-2) + b \] \[ 2 = 4 + b \] \[ b = 2 - 4 = -2 \] **Ответ:** \[ \boxed{ y = -2x - 2 } \] --- ### Задача 4. Решение задачи о гирях и гантелях Обозначим: - Вес одной гири — \(x\), - Вес одной гантели — \(y\). Из условия: - 2 гири и 3 гантели в сумме 47 кг: \[ 2x + 3y = 47 \] - Три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг: \[ 3x = 6y + 18 \] **Шаг 1. Упростим второе уравнение:** \[ 3x - 6y = 18 \] Разделим всё на 3: \[ x - 2y = 6 \] **Шаг 2. Решим систему:** \[ \begin{cases} 2x + 3y = 47 \quad (1) \\ x - 2y = 6 \quad (2) \end{cases} \] Из уравнения (2): \[ x = 6 + 2y \] Подставим в уравнение (1): \[ 2 (6 + 2y) + 3y = 47 \] \[ 12 + 4y + 3y = 47 \] \[ 12 + 7y = 47 \] \[ 7y = 35 \] \[ y = 5 \] Теперь найдём \(x\): \[ x = 6 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16 \] **Ответ:** - Вес гирь: 16 кг, - Вес гантелей: 5 кг. --- ### Задача 5. Решить систему уравнений удобным для себя способом: \[ \begin{cases} 3(x + y) + 1 = x + 4y \quad (1) \\ 7 - 2(x - y) = x - 8y \quad (2) \end{cases} \] **Шаг 1. Раскроем скобки в уравнениях:** - (1): \[ 3x + 3y + 1 = x + 4y \] - (2): \[ 7 - 2x + 2y = x - 8y \] **Шаг 2. Перенесем в уравнение (1):** \[ 3x + 3y + 1 = x + 4y \] Вычтем \(x\) и \(4y\) из обеих сторон: \[ 3x - x + 3y - 4y + 1 = 0 \] \[ 2x - y + 1 = 0 \] Обозначим как уравнение (3): \[ 2x - y = -1 \] **Шаг 3. Аналогично уравнение (2):** \[ 7 - 2x + 2y = x - 8y \] Перенесем все в левую сторону: \[ 7 - 2x + 2y - x + 8y = 0 \] \[ 7 - 3x + 10y = 0 \] Обозначим как уравнение (4): \[ -3x + 10y = -7 \] или: \[ 3x - 10y = 7 \] **Шаг 4. Решим систему:** \[ \begin{cases} 2x - y = -1 \quad (3) \\ 3x - 10y = 7 \quad (4) \end{cases} \] Выразим \(y\) из (3): \[ y = 2x + 1 \] Подставим в (4): \[ 3x - 10(2x + 1) = 7 \] Раскроем скобки: \[ 3x - 20x - 10 = 7 \] Объединим подобные: \[ -17x - 10 = 7 \] Добавим 10 к обеим: \[ -17x = 17 \] \[ x = -1 \] Теперь найдём \(y\): \[ y = 2 \times (-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \] **Ответ:** \[ x = -1, \quad y = -1 \] --- Если есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить — обязательно скажите!