решение
Давайте подробно решим каждую из указанных задач:
Задача 1. Решить систему способом подстановки:
\[ \begin{cases} x + 5y = 15 \quad (1) \\ 2x - y = 8 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1. Выразим \(x\) из уравнения (1):
\[ x = 15 - 5y \]
Шаг 2. Подставим это выражение в уравнение (2):
\[ 2(15 - 5y) - y = 8 \]
Шаг 3. Раскроем скобки:
\[ 30 - 10y - y = 8 \]
Шаг 4. Объединим подобные слагаемые:
\[ 30 - 11y = 8 \]
Шаг 5. Вычтем 30 из обеих частей:
\[ -11y = 8 - 30 \] \[ -11y = -22 \]
Шаг 6. Разделим обе части на -11:
\[ y = \frac{-22}{-11} = 2 \]
Шаг 7. Найдем \(x\):
\[ x = 15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5 \]
Ответ:
\[ \boxed{ x=5, \quad y=2 } \]
Задача 2. Решить систему способом сложения:
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \quad (1) \\ 6x - 12y = 7 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1. Обратим внимание на уравнения:
У второго уравнения есть коэффициенты, связанные с первым. В частности, умножим первое уравнение на 3 для сопоставления:
\[ 3 \times (2x - 3y) = 3 \times 2 \] \[ 6x - 9y = 6 \]
Теперь сравним это с уравнением (2):
\[ 6x - 12y = 7 \]
Шаг 2. Вычтем первое из второго уравнения:
\[ (6x - 12y) - (6x - 9y) = 7 - 6 \]
\[ 6x - 12y - 6x + 9y = 1 \]
\[ -3y = 1 \]
Шаг 3. Решим для \(y\):
\[ y = -\frac{1}{3} \]
Шаг 4. Подставим \(y\) в одно из исходных уравнений, например, в уравнение (1):
\[ 2x - 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = 2 \]
\[ 2x + 1 = 2 \]
\[ 2x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{ x= \frac{1}{2}, \quad y= -\frac{1}{3} } \]
Задача 3. Построение уравнения прямой, проходящей через точки А(-2;2) и В(1;-4)
Шаг 1. Найдём наклон прямой \(k\):
\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 2}{1 - (-2)} = \frac{-6}{3} = -2 \]
Шаг 2. Составим уравнение прямой по формуле:
\[ y = kx + b \]
Подставим одну из точек, например, точку А(-2;2):
\[ 2 = -2 \times (-2) + b \]
\[ 2 = 4 + b \]
\[ b = 2 - 4 = -2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ y = -2x - 2 } \]
Задача 4. Решение задачи о гирях и гантелях
Обозначим:
- Вес одной гири — \(x\),
- Вес одной гантели — \(y\).
Из условия:
- 2 гири и 3 гантели в сумме 47 кг:
\[ 2x + 3y = 47 \]
- Три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг:
\[ 3x = 6y + 18 \]
Шаг 1. Упростим второе уравнение:
\[ 3x - 6y = 18 \]
Разделим всё на 3:
\[ x - 2y = 6 \]
Шаг 2. Решим систему:
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 47 \quad (1) \\ x - 2y = 6 \quad (2) \end{cases} \]
Из уравнения (2):
\[ x = 6 + 2y \]
Подставим в уравнение (1):
\[ 2 (6 + 2y) + 3y = 47 \]
\[ 12 + 4y + 3y = 47 \]
\[ 12 + 7y = 47 \]
\[ 7y = 35 \]
\[ y = 5 \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x = 6 + 2 \times 5 = 6 + 10 = 16 \]
Ответ:
- Вес гирь: 16 кг,
- Вес гантелей: 5 кг.
Задача 5. Решить систему уравнений удобным для себя способом:
\[ \begin{cases} 3(x + y) + 1 = x + 4y \quad (1) \\ 7 - 2(x - y) = x - 8y \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 1. Раскроем скобки в уравнениях:
- (1):
\[ 3x + 3y + 1 = x + 4y \]
- (2):
\[ 7 - 2x + 2y = x - 8y \]
Шаг 2. Перенесем в уравнение (1):
\[ 3x + 3y + 1 = x + 4y \]
Вычтем \(x\) и \(4y\) из обеих сторон:
\[ 3x - x + 3y - 4y + 1 = 0 \]
\[ 2x - y + 1 = 0 \]
Обозначим как уравнение (3):
\[ 2x - y = -1 \]
Шаг 3. Аналогично уравнение (2):
\[ 7 - 2x + 2y = x - 8y \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 7 - 2x + 2y - x + 8y = 0 \]
\[ 7 - 3x + 10y = 0 \]
Обозначим как уравнение (4):
\[ -3x + 10y = -7 \]
или:
\[ 3x - 10y = 7 \]
Шаг 4. Решим систему:
\[ \begin{cases} 2x - y = -1 \quad (3) \\ 3x - 10y = 7 \quad (4) \end{cases} \]
Выразим \(y\) из (3):
\[ y = 2x + 1 \]
Подставим в (4):
\[ 3x - 10(2x + 1) = 7 \]
Раскроем скобки:
\[ 3x - 20x - 10 = 7 \]
Объединим подобные:
\[ -17x - 10 = 7 \]
Добавим 10 к обеим:
\[ -17x = 17 \]
\[ x = -1 \]
Теперь найдём \(y\):
\[ y = 2 \times (-1) + 1 = -2 + 1 = -1 \]
Ответ:
\[ x = -1, \quad y = -1 \]
Если есть дополнительные вопросы или что-то нужно уточнить — обязательно скажите!
