Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см
Давайте разберемся с задачей по шагам.
Задача:
Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см.
Шаг 1: Что такое описанная окружность и радиус описанной окружности (ОЦ)?
- Радиус описанной окружности \( R \) — это расстояние от центра окружности, описанной около треугольника, до любой его вершины.
- Центр окружности называется центром окружности, описанной около треугольника.
- Для равностороннего треугольника центр описанной окружности — это точка пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Шаг 2: Связь радиуса описанной окружности с сторонами и высотой равностороннего треугольника
Для равностороннего треугольника со стороной \( a \):
- Радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной треугольника так:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
Это известно из свойств равностороннего треугольника, где радиус описанной окружности равен \( \frac{a}{\sqrt{3}} \).
Шаг 3: Выразим сторону \( a \) через \( R \)
Дано: \( R = 12 \) см.
Подставляем:
\[ a = R \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{3} \text{ см} \]
Шаг 4: Найдем высоту равностороннего треугольника
Высота \( h \) равностороннего треугольника со стороной \( a \):
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]
Подставляем значение \( a \):
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \sqrt{3} \]
Объединим:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \times \sqrt{3} \]
Поскольку \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \), получаем:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \times \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 6 \times 3 = 18 \]
Ответ:
Высота равностороннего треугольника равна 18 см.
Если нужно более подробное объяснение или есть еще вопросы — скажите!
