Давайте разберемся с задачей по шагам.
Задача:
Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 12 см.
Шаг 1: Что такое описанная окружность и радиус описанной окружности (ОЦ)?
- Радиус описанной окружности ( R ) — это расстояние от центра окружности, описанной около треугольника, до любой его вершины.
- Центр окружности называется центром окружности, описанной около треугольника.
- Для равностороннего треугольника центр описанной окружности — это точка пересечения его медиан, высот и биссектрис.
Шаг 2: Связь радиуса описанной окружности с сторонами и высотой равностороннего треугольника
Для равностороннего треугольника со стороной ( a ):
- Радиус описанной окружности ( R ) связан со стороной треугольника так:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Это известно из свойств равностороннего треугольника, где радиус описанной окружности равен ( \frac{a}{\sqrt{3}} ).
Шаг 3: Выразим сторону ( a ) через ( R )
Дано: ( R = 12 ) см.
Подставляем:
[
a = R \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{3} \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем высоту равностороннего треугольника
Высота ( h ) равностороннего треугольника со стороной ( a ):
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a
]
Подставляем значение ( a ):
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \sqrt{3}
]
Объединим:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \times \sqrt{3}
]
Поскольку ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 ), получаем:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 \times \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 6 \times 3 = 18
]
Ответ:
Высота равностороннего треугольника равна 18 см.
Если нужно более подробное объяснение или есть еще вопросы — скажите!
