Пусть ( x ) — количество квадратных метров плитки, укладываемых первым каменщиком в день. Тогда второй каменщик укладывает ( x - 5 ) м² в день.
Шаг 1: Записать выражения для работы каждого каменщика
Общая площадь работы для каждого — 180 м².
- Первый каменщик укладывает за ( t_1 ) дней: ( \text{скорость} \times \text{время} = 180 ).
- Аналогично для второго: ( \text{скорость} \times \text{время} = 180 ).
То есть:
[
x \times t_1 = 180 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{180}{x}
]
и
[
(x - 5) \times t_2 = 180 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{180}{x - 5}
]
Шаг 2: Использовать условие о разнице в сроках
Первый каменщик работает на 3 дня меньше:
[
t_1 = t_2 - 3
]
Подставляем выражения:
[
\frac{180}{x} = \frac{180}{x - 5} - 3
]
Шаг 3: Решить уравнение
Переносим все в левую часть:
[
\frac{180}{x} - \frac{180}{x - 5} = -3
]
Объединяем левую часть в один дробь:
[
\frac{180(x - 5) - 180x}{x(x - 5)} = -3
]
Раскроем числитель:
[
180x - 900 - 180x = -3x(x - 5)
]
Обратим внимание:
[
(180x - 180x) - 900 = -3x^2 + 15x
]
Упростим левую часть:
[
-900 / [x(x - 5)] = -3
]
Или:
[
\frac{-900}{x(x - 5)} = -3
]
Шаг 4: Решение уравнения
Умножим обе части на ( x(x - 5) ):
[
-900 = -3 x (x - 5)
]
Или:
[
-900 = -3 (x^2 - 5x)
]
Делим обе части на -3:
[
300 = x^2 - 5x
]
Переносим все в уравнение:
[
x^2 - 5x - 300 = 0
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Используем формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = -300 ).
Вычислим дискриминант:
[
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-300) = 25 + 1200 = 1225
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{1225} = 35
]
Находим корни:
[
x = \frac{5 \pm 35}{2}
]
- Первое решение:
[
x = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20
]
- Второе решение:
[
x = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15
]
Поскольку количество квадратных метров не может быть отрицательным, оставляем только ( x = 20 ).
Ответ:
Первый каменщик укладывает 20 м² плитки в день.
