Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 180 м². Первый каменщик в день укладывает на 5 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю…

Пусть \( x \) — количество квадратных метров плитки, укладываемых первым каменщиком в день. Тогда второй каменщик укладывает \( x - 5 \) м² в день.

Шаг 1: Записать выражения для работы каждого каменщика

Общая площадь работы для каждого — 180 м².

• Первый каменщик укладывает за \( t_1 \) дней: \( \text{скорость} \times \text{время} = 180 \).
• Аналогично для второго: \( \text{скорость} \times \text{время} = 180 \).

То есть: \[ x \times t_1 = 180 \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{180}{x} \] и \[ (x - 5) \times t_2 = 180 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{180}{x - 5} \]

Шаг 2: Использовать условие о разнице в сроках

Первый каменщик работает на 3 дня меньше: \[ t_1 = t_2 - 3 \] Подставляем выражения: \[ \frac{180}{x} = \frac{180}{x - 5} - 3 \]

Шаг 3: Решить уравнение

Переносим все в левую часть: \[ \frac{180}{x} - \frac{180}{x - 5} = -3 \] Объединяем левую часть в один дробь: \[ \frac{180(x - 5) - 180x}{x(x - 5)} = -3 \] Раскроем числитель: \[ 180x - 900 - 180x = -3x(x - 5) \] Обратим внимание: \[ (180x - 180x) - 900 = -3x^2 + 15x \] Упростим левую часть: \[ -900 / [x(x - 5)] = -3 \] Или: \[ \frac{-900}{x(x - 5)} = -3 \]

Шаг 4: Решение уравнения

Умножим обе части на \( x(x - 5) \): \[ -900 = -3 x (x - 5) \] Или: \[ -900 = -3 (x^2 - 5x) \] Делим обе части на -3: \[ 300 = x^2 - 5x \] Переносим все в уравнение: \[ x^2 - 5x - 300 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -300 \).

Вычислим дискриминант: \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times (-300) = 25 + 1200 = 1225 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{1225} = 35 \]

Находим корни: \[ x = \frac{5 \pm 35}{2} \]

1. Первое решение: \[ x = \frac{5 + 35}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]
2. Второе решение: \[ x = \frac{5 - 35}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \]

Поскольку количество квадратных метров не может быть отрицательным, оставляем только \( x = 20 \).

Ответ:

Первый каменщик укладывает 20 м² плитки в день.