Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «при одном из бросков выпало 4 очка».
Давайте подробно разберемся с задачей.
Условие:
- Игральный кубик бросают дважды.
- Известно, что сумма выпавших очков больше 7.
- Нужно найти вероятность того, что при одном из бросков выпало 4 очка.
Шаг 1: Определим пространство возможных исходов
Каждый бросок — это число от 1 до 6. Общее число всех возможных исходов двух бросков:
\[ 36 \] (так как 6 вариантов первого броска и 6 вариантов второго).
Но нам даны условия: сумма больше 7. Значит, необходимо рассмотреть только те исходы, где:
\[ S = a + b > 7 \].
Шаг 2: Найдём все возможные исходы, в которых сумма > 7
Перебираем все пары \((a, b)\):
- \(a=1\): сумма \(a+b >7\) невозможна, так как максимум \(1+6=7\).
- \(a=2\): максимум \(2+6=8\). Получается, только \(2+6=8\).
- \(a=3\): \(3+5=8\), \(3+6=9\).
- \(a=4\): \(4+4=8\), \(4+5=9\), \(4+6=10\).
- \(a=5\): \(5+3=8\), \(5+4=9\), \(5+5=10\), \(5+6=11\).
- \(a=6\): \(6+2=8\), \(6+3=9\), \(6+4=10\), \(6+5=11\), \(6+6=12\).
Теперь перечислим все такие пары:
| \(a\) | \(b\) | сумма \(a+b\) |
|---|---|---|
| 2 | 6 | 8 |
| 3 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 4 | 8 |
| 4 | 5 | 9 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 3 | 8 |
| 5 | 4 | 9 |
| 5 | 5 | 10 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 9 |
| 6 | 4 | 10 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
Всего таких исходов: 15.
Шаг 3: Определим условие — оба броска
Поскольку речь идет о двух бросках, и известно, что сумма > 7, интересует, при одном из бросков выпало 4 очка.
Нам нужно найти вероятность этого события при условии, что сумма > 7.
Обозначим события:
- \(A\): "При одном из бросков выпало 4 очка".
- \(B\): "Сумма больше 7".
Ищем \(P(A|B)\) — вероятность события \(A\) при условии \(B\):
\[ P(A|B) = \frac{\text{число исходов, где сумма>7 и при одном броске есть 4}}{\text{число исходов, где сумма>7}} \]
Шаг 4: Находим исходы, соответствующие условию \(A \cap B\)
Нам нужны из перечисленных 15 пар те, где один из бросков равен 4, а сумма >7.
Обозначим броски через \((a, b)\):
\(a=4\): тогда \(b\) должен удовлетворять \(4 + b > 7 \Rightarrow b > 3\):
\(b=4,5,6\):- \((4,4)\): сумма 8, подходит.
- \((4,5)\): сумма 9, подходит.
- \((4,6)\): сумма 10, подходит.
\(b=4\): тогда \(a\) должен удовлетворять \(a + 4 > 7 \Rightarrow a > 3\):
\(a=4,5,6\):- \((4,4)\): уже есть.
- \((5,4)\): сумма 9, подходит.
- \((6,4)\): сумма 10, подходит.
Итак, уникальные пары, где при одном из бросков есть 4, и сумма >7:
\[ (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4) \]
Итого их 5.
Шаг 5: Вычисляем вероятность
Число благоприятных исходов: 5.
Общее число исходов при условии, что сумма >7: 15.
Следовательно:
\[ P(\text{при одном из бросков есть 4} \mid \text{сумма} >7) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]
Ответ:
Вероятность того, что при одном из бросков выпадет 4 очка, при условии, что сумма больше 7, равна \(\boxed{\frac{1}{3}}\).
