Прямая касается окружности радиуса 1 в точке А. Хорда АВ образует касательный угол 60°. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки В на эту касательную.

Давайте подробно разберем задачу по шагам. **Дано:** - Окружность радиуса \( R = 1 \). - Прямая касается окружности в точке \( A \). - Хорда \( AB \) образует касательный угол \( \angle CAB = 60^\circ \). - Нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из точки \( B \) на касательную. --- ### Шаг 1. Что известно? - Радиус окружности \( R = 1 \). - Точка касания — \( A \). Так как это касательная, то: \[ \text{Пусть } T \text{ — точка касания.} \] Тогда: \[ \text{Радиус } OA \text{ перпендендикулярен касательной,} \text{ где } O \text{ — центр окружности.} \] --- ### Шаг 2. Построим схему и обозначения - Вертикаль — центр окружности \( O \). - Точка касания \( A \) лежит на окружности, так как \( |OA| = R = 1 \). - Пусть касательная в точке \( A \). Обозначим точку \( B \), которая лежит вне окружности, так как хорда \( AB \) образует касательный угол. --- ### Шаг 3. Анализ угла и построения - Угол между хордами и касательной равен \( 60^\circ \). Обычно, в подобных задачах, если говорят, что хорда образует с касательной угол \( 60^\circ \), то это либо угол между этой хорды и касательной, либо касательный угол между радиусом и хордой, или что-то подобное. - В данном случае, судя по условию, скорее всего, речь идет о том, что угол между хордой \( AB \) и касательной (в точке \( A \)) равен \( 60^\circ \). --- ### Шаг 4. Геометрическая интерпретация - Поскольку \( A \) — точка касания, она лежит на окружности, и касательная в точке \( A \) перпендикулярна радиусу \( OA \). - Вся задача сводится к нахождению длины перпендикуляра от точки \( B \) до касательной, через построения. --- ### Шаг 5. Связь между точками и углами - Обозначим: \[ \angle BAC = 60^\circ \] и \( B \) — точка, лежащая вне окружности. - Так как \( A \) — точка касания, то радиус \( OA \) перпендикулярен касательной \( t \), проведенной в точке \( A \). --- ### Шаг 6. Решение через радиус и угол Рассмотрим радиус \( OA \) и точку \( B \). Проведем из \( B \) перпендикуляр на касательную \( t \), пусть это будет точка \( P \). Нам нужно найти длину сегмента \( BP \). Известно, что: - \( OA \perp t \), - \( |OA| = 1 \), - \( \angle BAC = 60^\circ \). По условию, при построении, важной является фигура – треугольник, образованный радиусом, хордой и касательной. --- ### Шаг 7. Геометрические свойства Поскольку \( \angle BAC = 60^\circ \), и \( A \) — точка касания, тогда: - радиус \( OA \) перпендикулярен касательной, - следовательно, если мы проведем радиус \( OA \) из центра, то угол между радиусом и хордой \( AB \) в точке \( A \) равен \( 60^\circ \). --- ### Шаг 8. Анализ углов Используя свойства треугольников и углы на окружности, легко понять: - Угол между радиусом \( OA \) и хордой \( AB \) равен \( 60^\circ \), - В треугольнике \( OAB \) угол у \( A \) — \( 60^\circ \), - Радиус \( OA \) перпендикулярен касательной, значит, угол между радиусом \( OA \) и касательной — \( 90^\circ \). --- ### Шаг 9. Свойство о перпендикуляре Перпендикуляр из точки \( B \) к касательной — это длина, о которой нужно найти. А в геометрии, перпендикуляр из точки, находящейся вне окружности, к касательной связан с углом при точке \( A \). ### Итоговое решение: - Длина перпендикуляра \( BP \) равна \( R \times \sin(\angle BAC) \). Поскольку \( R = 1 \), и \( \angle BAC = 60^\circ \), тогда: \[ BP = R \times \sin 60^\circ = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{\sqrt{3}}{2} } \] Длина перпендикуляра, опущенного из точки \( B \) на касательную, равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).