. Построй график функции  y = ∣ x ∣ ( x + 2 ) – 2 x y=∣x∣(x+2)–2x. Определи, при каких значениях  m m прямая  y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений  m m несколько, в ответ запиши их в порядке возрастания без пробелов, запятых и других знаков.

Рассмотрим задачу, которая состоит из двух частей: 1. Построить график функции \( y = |x|(x + 2) - 2x \). 2. Определить значения параметра \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции. --- ### Часть 1: Анализ функции \( y = |x|(x + 2) - 2x \) #### Шаг 1: Разобьём функцию по признаку модуля \( |x| \). \[ |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \] Значит, для построения графика разбиваем функцию на два случая: - **При \( x \ge 0 \):** \[ y = x(x + 2) - 2x = (x^2 + 2x) - 2x = x^2 \] - **При \( x < 0 \):** \[ y = -x(x + 2) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x \] Итак, функция записывается как: \[ \boxed{ y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ - x^2 - 4x, & x < 0 \end{cases} } \] --- ### Часть 2: Построение графика - Для \( x \ge 0 \): график — это парабола \( y = x^2 \), открытая вверх. - Для \( x < 0 \): график — это парабола \( y = -x^2 - 4x \). --- ### Часть 3: Анализ пересечений с линией \( y = m \) Нам нужно найти значения \( m \), при которых линия \( y = m \) пересекает график ровно в **двух точках**. Рассмотрим два случая — для \( x \ge 0 \) и \( x < 0 \). --- ### Часть 4: Решения для каждого участка - При \( x \ge 0 \): \[ m = x^2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{m} \] Но так как \( x \ge 0 \), то возможен только \( x = \sqrt{m} \) при \( m \ge 0 \). - При \( x < 0 \): \[ m = -x^2 - 4x \] Эту квадратичную функцию по \( x \) рассмотрим отдельно. --- ### Часть 5: Анализ квадратичного уравнения для \( x < 0 \) Для заданного \( m \), уравнение: \[ -x^2 - 4x - m = 0 \] или: \[ x^2 + 4x + m = 0 \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \] - **Если \( D > 0 \):** 2 корня, значит, два пересечения. - **Если \( D = 0 \):** 1 корень, касание — одна точка, нам не подходит. - **Если \( D < 0 \):** пересечений нет. --- ### Часть 6: Определение условий для количества пересечений - **Для \( x \ge 0 \):** \( y = x^2 \) — одна точка пересечения для каждого \( m \ge 0 \), где \( x = \sqrt{m} \). - **Для \( x < 0 \):** существуют 2 пересечения, если дискриминант положителен в диапазоне \( m \), то есть: \[ 16 - 4m > 0 \quad \Rightarrow \quad m < 4 \] и при этом: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \] Обратите внимание, что для \( x < 0 \), оба корня должны быть отрицательными. --- ### Часть 7: Анализ числа пересечений в зависимости от \( m \) - **При \( m < 0 \):** на участке \( x \ge 0 \): нет пересечений, так как \( y=x^2\ge 0 \neq m<0 \); на участке \( x<0 \): дискриминант \( 16-4m \) больше 0, но корни можно проверить. Для \( m<0 \), оба корня: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \] — оба отрицательные? Проверим, так как \( -4 + \sqrt{16 - 4m} \) — всегда меньше 0 для \( m<0 \), и так же \( -4 - \sqrt{16-4m} \) — тоже отрицательный? При \( m<0 \), \( \sqrt{16 - 4m} > 4 \), потому что \( -4m > 0 \). Тогда: \[ x_1 = \frac{-4 + \text{больше 4}}{2} \quad \Rightarrow \text{может быть положительным} \] \[ x_2 = \frac{-4 - \text{больше 4}}{2} \quad \Rightarrow \text{отрицательным} \] Это значит, что **один корень всегда положителен, другой отрицателен** — не подходит для \( x<0 \), только один корень на участке \( x<0 \). Тогда, при \( m<0 \), на \( x<0 \) — **одна точка пересечения**. --- ### Итог по числу пересечений: - **Для \( m < 0 \):** 1 точка (только на участке \( x < 0 \)). - **Для \( m = 0 \):** На \( x \ge 0 \): \( y=x^2=0 \Rightarrow x=0 \), то есть точка \((0,0)\). На \( x<0 \): \[ x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4)=0 \] Корень \( x=0 \), совпадает с предыдущим — одна точка касания, а не две. - **Для \( 0 < m < 4 \):** На \( x \ge 0 \): \[ x=\sqrt{m} > 0 \] одна точка. На \( x<0 \): \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \] Величина \( \sqrt{16 - 4m} \) — между 0 и 4, и: \[ x_1 = \frac{-4 + \text{что-то меньше 4}}{2} < 0 \] \[ x_2 = \frac{-4 - \text{что-то}, \text{менее 0}}{2} \] оба корня — отрицательные, то есть **два пересечения на \( x<0 \)** и одна на \( x \ge 0 \). Итог — **3 точки**, не подходит. - **Для \( m=4 \):** Дискриминант \( 16 - 4 \times 4=0 \): \[ x= \frac{-4}{2} = -2 \] В этом случае кси дважды в одной точке. На \( x<0 \) — одна точка (сейчас это касание). На \( x \ge 0 \): \( y = 4 \Rightarrow x=\pm 2 \). Только \( x=2 \ge 0 \), а \( x=-2<0 \). На \( x \ge 0 \) — точка \( x=2 \). Итог: 2 пересечения. - **Для \( m > 4 \):** дискриминант отрицателен — пересечений только на \( x \ge 0 \): \[ x=\pm \sqrt{m} \] только \( x=\sqrt{m}>0 \), итого 1 пересечение, а не 2. --- ### Итог: Ровно **две точки пересечения**: - Когда \( m=4 \), так как линия пересекает график в двух точках: — на \( x \ge 0 \): \( x=\sqrt{4}=2 \) — на \( x<0 \): корень по формуле \( x=-2 \) (квадратично касание), и еще одна точка — точка касания, которая считается за один. Но при этом, чтобы было ровно **две** точки, нужно убедиться, что касание \( x=-2 \) считается одной точкой, а другая — \( x=2 \). --- ### **Ответ:** **Значения \( m \), при которых ровно две точки пересечения:** - **При \( m=4 \)** — две точки пересечения. --- ### **Итак**, окончательный ответ: \[ \boxed{4} \] --- Если есть вопросы или нужно подробнее пояснить — обращайтесь!