. Построй график функции y = ∣ x ∣ ( x + 2 ) – 2 x y=∣x∣(x+2)–2x . Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Если значений m m…

Рассмотрим задачу, которая состоит из двух частей:

1. Построить график функции \( y = |x|(x + 2) - 2x \).
2. Определить значения параметра \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет ровно две точки пересечения с графиком функции.

---

Часть 1: Анализ функции \( y = |x|(x + 2) - 2x \)

Шаг 1: Разобьём функцию по признаку модуля \( |x| \).

\[ |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]

Значит, для построения графика разбиваем функцию на два случая:

• При \( x \ge 0 \): \[ y = x(x + 2) - 2x = (x^2 + 2x) - 2x = x^2 \]

• При \( x < 0 \): \[ y = -x(x + 2) - 2x = -x^2 - 2x - 2x = -x^2 - 4x \]

Итак, функция записывается как:

\[ \boxed{ y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ - x^2 - 4x, & x < 0 \end{cases} } \]

---

Часть 2: Построение графика

• Для \( x \ge 0 \): график — это парабола \( y = x^2 \), открытая вверх.
• Для \( x < 0 \): график — это парабола \( y = -x^2 - 4x \).

---

Часть 3: Анализ пересечений с линией \( y = m \)

Нам нужно найти значения \( m \), при которых линия \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.

Рассмотрим два случая — для \( x \ge 0 \) и \( x < 0 \).

---

Часть 4: Решения для каждого участка

• При \( x \ge 0 \): \[ m = x^2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{m} \] Но так как \( x \ge 0 \), то возможен только \( x = \sqrt{m} \) при \( m \ge 0 \).

• При \( x < 0 \): \[ m = -x^2 - 4x \]

Эту квадратичную функцию по \( x \) рассмотрим отдельно.

---

Часть 5: Анализ квадратичного уравнения для \( x < 0 \)

Для заданного \( m \), уравнение:

\[ -x^2 - 4x - m = 0 \] или:

\[ x^2 + 4x + m = 0 \]

Рассчитаем дискриминант:

\[ D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m \]

• Если \( D > 0 \): 2 корня, значит, два пересечения.
• Если \( D = 0 \): 1 корень, касание — одна точка, нам не подходит.
• Если \( D < 0 \): пересечений нет.

---

Часть 6: Определение условий для количества пересечений

• Для \( x \ge 0 \):
  \( y = x^2 \) — одна точка пересечения для каждого \( m \ge 0 \), где \( x = \sqrt{m} \).

• Для \( x < 0 \):
  существуют 2 пересечения, если дискриминант положителен в диапазоне \( m \), то есть:

\[ 16 - 4m > 0 \quad \Rightarrow \quad m < 4 \]

и при этом:

\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \]

Обратите внимание, что для \( x < 0 \), оба корня должны быть отрицательными.

---

Часть 7: Анализ числа пересечений в зависимости от \( m \)

• При \( m < 0 \):
  на участке \( x \ge 0 \): нет пересечений, так как \( y=x^2\ge 0 \neq m<0 \);
  на участке \( x<0 \):
  дискриминант \( 16-4m \) больше 0, но корни можно проверить.
  Для \( m<0 \), оба корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \]

— оба отрицательные?
Проверим, так как \( -4 + \sqrt{16 - 4m} \) — всегда меньше 0 для \( m<0 \), и так же \( -4 - \sqrt{16-4m} \) — тоже отрицательный?

При \( m<0 \), \( \sqrt{16 - 4m} > 4 \), потому что \( -4m > 0 \). Тогда:

\[ x_1 = \frac{-4 + \text{больше 4}}{2} \quad \Rightarrow \text{может быть положительным} \] \[ x_2 = \frac{-4 - \text{больше 4}}{2} \quad \Rightarrow \text{отрицательным} \]

Это значит, что один корень всегда положителен, другой отрицателен — не подходит для \( x<0 \), только один корень на участке \( x<0 \). Тогда, при \( m<0 \), на \( x<0 \) — одна точка пересечения.

---

Итог по числу пересечений:

• Для \( m < 0 \):
  1 точка (только на участке \( x < 0 \)).

• Для \( m = 0 \):
  На \( x \ge 0 \): \( y=x^2=0 \Rightarrow x=0 \), то есть точка \((0,0)\).
  На \( x<0 \):

\[ x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4)=0 \]

Корень \( x=0 \), совпадает с предыдущим — одна точка касания, а не две.

• Для \( 0 < m < 4 \):
  На \( x \ge 0 \):

\[ x=\sqrt{m} > 0 \] одна точка.

На \( x<0 \):

\[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} \]

Величина \( \sqrt{16 - 4m} \) — между 0 и 4, и:

\[ x_1 = \frac{-4 + \text{что-то меньше 4}}{2} < 0 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - \text{что-то}, \text{менее 0}}{2} \]

оба корня — отрицательные, то есть два пересечения на \( x<0 \) и одна на \( x \ge 0 \). Итог — 3 точки, не подходит.

• Для \( m=4 \):

  Дискриминант \( 16 - 4 \times 4=0 \):

\[ x= \frac{-4}{2} = -2 \]

В этом случае кси дважды в одной точке. На \( x<0 \) — одна точка (сейчас это касание).

На \( x \ge 0 \): \( y = 4 \Rightarrow x=\pm 2 \). Только \( x=2 \ge 0 \), а \( x=-2<0 \). На \( x \ge 0 \) — точка \( x=2 \).

Итог: 2 пересечения.

• Для \( m > 4 \):

  дискриминант отрицателен — пересечений только на \( x \ge 0 \):

\[ x=\pm \sqrt{m} \]

только \( x=\sqrt{m}>0 \), итого 1 пересечение, а не 2.

---

Итог:

Ровно две точки пересечения:

• Когда \( m=4 \), так как линия пересекает график в двух точках:
  — на \( x \ge 0 \): \( x=\sqrt{4}=2 \)
  — на \( x<0 \): корень по формуле \( x=-2 \) (квадратично касание), и еще одна точка — точка касания, которая считается за один.

Но при этом, чтобы было ровно две точки, нужно убедиться, что касание \( x=-2 \) считается одной точкой, а другая — \( x=2 \).

---

Ответ:

Значения \( m \), при которых ровно две точки пересечения:

• При \( m=4 \) — две точки пересечения.

---

Итак, окончательный ответ:

\[ \boxed{4} \]

---

Если есть вопросы или нужно подробнее пояснить — обращайтесь!