Биссектриса угла  M M параллелограмма  M N K L MNKL пересекает сторону  N K NK в точке  P P. Найди периметр параллелограмма, если  N P = 12 NP=12,  P K = 10 PK=10.

Давайте решим задачу пошагово и подробно. ### В условии задачи: - Есть параллелограмм \( M N K L \). - Внутри этого параллелограмма построена биссектриса угла \( M \), которая пересекает сторону \( N K \) в точке \( P \). - Известно, что \( N P = 12 \) и \( P K = 10 \). - Нужно найти периметр параллелограмма \( M N K L \). --- ### Шаг 1: Построение и обозначения Обозначим: - \( M, N, K, L \) — вершины параллелограмма. - \( P \) — точка пересечения биссектрисы угла \( M \) со стороной \( N K \). Рассмотрим угол \( M \). Он образован сторонами \( M N \) и \( M L \). --- ### Шаг 2: Свойства биссектрисы Ключевое свойство биссектрисы: она делит сторону \( N K \) в отношении длин отрезков, которых она делит. То есть, по теореме о биссекторе: \[ \frac{N P}{P K} = \frac{M N}{M L} \] Но в условии: \[ N P = 12,\quad P K = 10 \] Следовательно, \[ \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = \frac{M N}{M L} \] Это означает, что: \[ \boxed{ \frac{M N}{M L} = \frac{6}{5} } \] --- ### Шаг 3: Ввод переменных и использование пропорции Обозначим: - \( M N = 6k \), - \( M L = 5k \), где \( k \) — некоторый положительный коэффициент. --- ### Шаг 4: Свойства параллелограмма Параллелограмм имеет противоположные стороны равны, то есть: \[ N K = M L \] Также нам нужно выразить сторону \( N K \) через известные данные. Рассмотрим треугольник \( M N P \). В нем известны \( N P = 12 \), и мы можем попробовать найти \( M N \). --- ### Шаг 5: Связь между сторонами Из свойства биссектрисы нам известно, что точка \( P \) делит сторону \( N K \) в отношении \( 6:5 \). Пусть длина стороны \( N K \) равна \( x \). Тогда: \[ N P = \frac{6}{6+5} \times x = \frac{6}{11} x \] Аналогично, \[ P K = \frac{5}{11} x \] Также из условия \( N P = 12 \), получаем: \[ \frac{6}{11} x = 12 \] Отсюда: \[ x = \frac{12 \times 11}{6} = 2 \times 11 = 22 \] Следовательно, \[ N K = 22 \] --- ### Шаг 6: Определение сторон параллелограмма Поскольку \( N K = 22 \), и \( N K = M L \) (противоположные стороны равны), то: \[ M L = 22 \] Теперь у нас есть соотношение для сторон \( M N \) и \( M L \): \[ M N = 6k, \quad M L = 5k \] Но поскольку сторона \( N K \) параллелограмма равна \( M L \), то: \[ M L = 22 = 5k \] Отсюда: \[ k = \frac{22}{5} = 4.4 \] Следовательно, \[ M N = 6k = 6 \times 4.4 = 26.4 \] и \[ M L = 5k = 22 \quad (\что уже было дано, и мы подтвердили). --- ### Шаг 7: Периметр параллелограмма Параллелограмм имеет две пары равных сторон: - \( M N = 26.4 \), - \( N K = 22 \). Периметр: \[ P = 2 \times (M N + N K) = 2 \times (26.4 + 22) = 2 \times 48.4 = 96.8 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \boxed{96.8} } \] Периметр параллелограмма равен **96.8**.