√х²+6х=4

Давайте решим уравнение: \(\sqrt{x^2 + 6x} = 4\).

Шаг 1: Изолируем выражение под корнем и возьмем квадрат обеих частей, чтобы избавиться от квадратного корня.

\[ \sqrt{x^2 + 6x} = 4 \implies (\sqrt{x^2 + 6x})^2 = 4^2 \]

\[ x^2 + 6x = 16 \]

Шаг 2: Перенесем все в левую часть уравнения:

\[ x^2 + 6x - 16 = 0 \]

Это квадратное уравнение.

Шаг 3: Решим квадратичное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \(a=1\), \(b=6\), \(c=-16\):

\[ D = 6^2 - 4 \times 1 \times (-16) = 36 + 64 = 100 \]

Шаг 4: Найдём корни по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-6 \pm 10}{2} \]

• Первый корень:

\[ x = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

• Второй корень:

\[ x = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Шаг 5: Проверка решений на исходное уравнение, так как при возведении в квадрат возможны лишние корни:

• Проверим \(x=2\):

\[ \sqrt{(2)^2 + 6 \times 2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 \]

Это совпадает с правой частью уравнения. Значит, \(x=2\) — решение.

• Проверим \(x=-8\):

\[ \sqrt{(-8)^2 + 6 \times (-8)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \]

Это также совпадает с правой частью. Значит, \(x=-8\) — также решение.

Ответ: \(\boxed{x = 2 \text{ или } x = -8}\).

Если есть еще вопросы — спрашивайте!