Давайте решим задачу по избавлению от иррациональности в знаменателе дроби:
Дано:
[
\frac{5}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}
]
Шаг 1: Анализ задачи
Нам нужно избавиться от иррациональности (корней) в знаменателе, то есть, сделать так, чтобы в знаменателе не было корней.
Шаг 2: Используем рационализацию (умножение на сопряжённое)
Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение знаменателя.
Сопряжённое к (\sqrt{8} - \sqrt{3}) — это (\sqrt{8} + \sqrt{3}).
Итак, умножим дробь на
[
\frac{\sqrt{8} + \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}}
]
Шаг 3: Выполняем умножение
Получим:
[
\frac{5}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{8} + \sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{(\sqrt{8} - \sqrt{3})(\sqrt{8} + \sqrt{3})}
]
Шаг 4: Решаем знаменатель (разность квадратов)
Используем формулу: ((a - b)(a + b) = a^2 - b^2)
Значит:
[
(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{3})^2 = 8 - 3 = 5
]
Шаг 5: Итоговое выражение
Теперь дробь равна:
[
\frac{5(\sqrt{8} + \sqrt{3})}{5}
]
Сокращаем числитель и знаменатель на 5:
[
\sqrt{8} + \sqrt{3}
]
Шаг 6: Приводим подкоренные выражения к более простому виду
(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2})
Итак, окончательный ответ:
[
2\sqrt{2} + \sqrt{3}
]
Итог:
[
\frac{5}{\sqrt{8} - \sqrt{3}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{3}
]
Если нужно, могу помочь с любыми другими задачами!
