.

Давайте разберемся с этой задачей пошагово. ### Дано: - У равностороннего треугольника ABC проведена медиана \(AM\). - \(AM = 4 \text{ см}\). - Медиана \(AM\) делит треугольник на две части и проходит через точку \(M\), которая является серединой стороны \(BC\). ### Нужно: 1. Найти угол \(\angle MAC\). 2. Определить расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\). --- ## Шаг 1: Анализ треугольника - В равностороннем треугольнике все стороны равны. - Медиана, проведенная из вершины к стороне, делит её пополам. - Также важный факт: в равностороннем треугольнике медиана, высота, биссектриса и неортогональная медиана — это одна и та же линия. --- ## Шаг 2: Какая это медиана и что она делит? - В треугольнике \(ABC\), медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам, то есть \(BM = MC\). - Поскольку треугольник равносторонний, все углы равны \(60^\circ\). --- ## Шаг 3: Важные свойства высоты и медианы - В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают, и делят угол пополам. - Медиана из вершины делит угол на два равных по \(30^\circ\). --- ## Шаг 4: Расчет угла \(\angle MAC\) Поскольку \(AM\) это медиана, и это высота (так как в равностороннем треугольнике высота — это медиана и биссектриса), то траектория такова: - Угол \(\angle MAC\) — это половина угла при вершине \(A\), который равен \(60^\circ\), значит: \[ \angle MAC = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ. \] ### **Ответ на первый вопрос:** \(\boxed{\angle MAC = 30^\circ}\). --- ## Шаг 5: Определение расстояния от точки \(M\) до стороны \(AC\) - В равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины к стороне, делит сторону пополам и образует треугольник с углами \(\ 30^\circ\) и \ 60^\circ\). - Высота равна \(AM = 4 \text{ см}\). - Расстояние от точки \(M\) (середины стороны \(BC\)) до стороны \(AC\): Так как \(M\) — середина стороны \(BC\), и высота \(AM\) — это не только высота, но и медиана, то можно заметить, что: - Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) — это высота треугольника, опущенная из точки \(M\) на сторону \(AC\). В этом случае, поскольку \(M\) — середина стороны, и треугольник равносторонний, это равновелико. - Так как высота \(AM=4\) см, то расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) равно: \[ \boxed{ \text{расстояние} = AM \times \sin(60^\circ) = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \approx 3.464 \text{ см}. \] --- ## Итоговые ответы: 1. \(\angle MAC = 30^\circ\) 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) — примерно **3.464 см** (\(2 \sqrt{3}\)). Если что-то осталось непонятным, могу дополнительно объяснить!