8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и…
8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и более Число предприятий 36 18 7 2 Определите, каким должен быть интервал отбора при механи- ческой выборке, чтобы получить данные о средней численности занятых на малых предприятиях с точностью ±1 чел. при уровне вероятности 0,997.
Давайте подробно разберем решение задачи по статистике.
Дано:
| Численность работников | Количество предприятий |
|---|---|
| до 5 | 36 |
| 6–10 | 18 |
| 11–15 | 7 |
| 16 и более | 2 |
Общий размер совокупности \( N \):
\[ N = 36 + 18 + 7 + 2 = 63 \]
Шаг 1: Построение комбинированной выборки и определение дисперсии популяции
Цель — определить интервал отбора при механической выборке, чтобы рассчитывать среднюю численность занятых с точностью \(\pm 1\) чел. при уровне доверия 0,997.
Для этого необходимо найти дисперсию генеральной совокупности.
Шаг 2: Определение средней численности по каждой группе
Примем за среднее значение внутри интервала:
- для "до 5": \( x_1 = 3 \) (предположим, среднее число работников — 3)
- для "6–10": \( x_2 = 8 \)
- для "11–15": \( x_3 = 13 \)
- для "16 и более": поскольку больший диапазон, возьмем среднее примерно 20
Шаг 3: Расчет средней численности по всей совокупности
\[ \bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{4} n_i \cdot x_i \]
где \( n_i \) — число предприятий в группе:
\[ \bar{X} = \frac{36 \cdot 3 + 18 \cdot 8 + 7 \cdot 13 + 2 \cdot 20}{63} \]
Вычислим числитель:
\[ 36 \times 3 = 108 \] \[ 18 \times 8 = 144 \] \[ 7 \times 13 = 91 \] \[ 2 \times 20 = 40 \]
Общая сумма:
\[ 108 + 144 + 91 + 40 = 383 \]
Следовательно,
\[ \bar{X} = \frac{383}{63} \approx 6.08 \]
Шаг 4: Вычисление дисперсии генеральной совокупности \( S^2 \)
Дисперсия считается по формуле:
\[ S^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{X})^2 \]
Посчитаем вклад каждого интервала:
для "до 5": \( (3 - 6.08)^2 = 9.49 \), внесение в дисперсию: \( 36 \times 9.49 = 341.64 \)
для "6–10": \( (8 - 6.08)^2 = 3.68 \), внесение: \( 18 \times 3.68 = 66.24 \)
для "11–15": \( (13 - 6.08)^2 = 47.07 \), внесение: \( 7 \times 47.07 = 329.49 \)
для "16 и более": \( (20 - 6.08)^2 = 193.09 \), внесение: \( 2 \times 193.09 = 386.18 \)
Общая сумма:
\[ 341.64 + 66.24 + 329.49 + 386.18 = 1123.55 \]
Дисперсия генеральной совокупности:
\[ S^2 = \frac{1123.55}{63} \approx 17.84 \]
Шаг 5: Определение объем выборки \( n \)
Формула для определения объема выборки при известной дисперсии:
\[ n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2 \]
где:
\( z_{\alpha/2} \) — значение z-критерия для уровня доверия 0,997: \( z_{0.0015} \)
Для этого уровня доверия, \( z \approx 3.00 \) (по таблице стандартного нормального распределения).
\( \sigma = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{17.84} \approx 4.22 \)
\( E = 1 \) (точность ±1 чел.)
Подставим значения:
\[ n = \left( \frac{3.00 \times 4.22}{1} \right)^2 \approx (12.66)^2 \approx 160.3 \]
Так как объем совокупности \( N=63 \), а расчет показывает, что нужно выбрать около 160 элементов, что больше совокупности, — то есть при таких параметрах выборка должна быть полной.
Но поскольку практический объем выборки не может превышать объем всей совокупности, и также учитывая, что дисперсия очень велика, необходимо применить коррекцию для конечной совокупности (корректировка на конечную популяцию):
\[ n_{корр} = \frac{n_0 N}{N + n_0 - 1} \]
где \( n_0 \) — объем выборки при бесконечной популяции, равен 160.
Подставим:
\[ n_{корр} = \frac{160 \times 63}{63 + 160 - 1} = \frac{10080}{222} \approx 45.4 \]
Ответ:
Интервал отбора при механической выборке должен быть выбран так, чтобы выборка содержала около 45-46 предприятий, что соответствует выборочному интервалу 1/45 или 1/46.
Это означает, что для получения нужной точности при доверительном уровне 99.7%, необходимо выбрать каждые 45-й или 46-й объект из генеральной совокупности.
Если нужно более конкретное объяснение или помощь, — пишите!
