Давайте подробно разберем решение задачи по статистике.
Дано:
| Численность работников |
Количество предприятий |
| до 5 |
36 |
| 6–10 |
18 |
| 11–15 |
7 |
| 16 и более |
2 |
Общий размер совокупности ( N ):
[
N = 36 + 18 + 7 + 2 = 63
]
Шаг 1: Построение комбинированной выборки и определение дисперсии популяции
Цель — определить интервал отбора при механической выборке, чтобы рассчитывать среднюю численность занятых с точностью (\pm 1) чел. при уровне доверия 0,997.
Для этого необходимо найти дисперсию генеральной совокупности.
Шаг 2: Определение средней численности по каждой группе
Примем за среднее значение внутри интервала:
- для "до 5": ( x_1 = 3 ) (предположим, среднее число работников — 3)
- для "6–10": ( x_2 = 8 )
- для "11–15": ( x_3 = 13 )
- для "16 и более": поскольку больший диапазон, возьмем среднее примерно 20
Шаг 3: Расчет средней численности по всей совокупности
[
\bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{4} n_i \cdot x_i
]
где ( n_i ) — число предприятий в группе:
[
\bar{X} = \frac{36 \cdot 3 + 18 \cdot 8 + 7 \cdot 13 + 2 \cdot 20}{63}
]
Вычислим числитель:
[
36 \times 3 = 108
]
[
18 \times 8 = 144
]
[
7 \times 13 = 91
]
[
2 \times 20 = 40
]
Общая сумма:
[
108 + 144 + 91 + 40 = 383
]
Следовательно,
[
\bar{X} = \frac{383}{63} \approx 6.08
]
Шаг 4: Вычисление дисперсии генеральной совокупности ( S^2 )
Дисперсия считается по формуле:
[
S^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{X})^2
]
Посчитаем вклад каждого интервала:
для "до 5": ( (3 - 6.08)^2 = 9.49 ), внесение в дисперсию: ( 36 \times 9.49 = 341.64 )
для "6–10": ( (8 - 6.08)^2 = 3.68 ), внесение: ( 18 \times 3.68 = 66.24 )
для "11–15": ( (13 - 6.08)^2 = 47.07 ), внесение: ( 7 \times 47.07 = 329.49 )
для "16 и более": ( (20 - 6.08)^2 = 193.09 ), внесение: ( 2 \times 193.09 = 386.18 )
Общая сумма:
[
341.64 + 66.24 + 329.49 + 386.18 = 1123.55
]
Дисперсия генеральной совокупности:
[
S^2 = \frac{1123.55}{63} \approx 17.84
]
Шаг 5: Определение объем выборки ( n )
Формула для определения объема выборки при известной дисперсии:
[
n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2
]
где:
( z_{\alpha/2} ) — значение z-критерия для уровня доверия 0,997: ( z_{0.0015} )
Для этого уровня доверия, ( z \approx 3.00 ) (по таблице стандартного нормального распределения).
( \sigma = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{17.84} \approx 4.22 )
( E = 1 ) (точность ±1 чел.)
Подставим значения:
[
n = \left( \frac{3.00 \times 4.22}{1} \right)^2 \approx (12.66)^2 \approx 160.3
]
Так как объем совокупности ( N=63 ), а расчет показывает, что нужно выбрать около 160 элементов, что больше совокупности, — то есть при таких параметрах выборка должна быть полной.
Но поскольку практический объем выборки не может превышать объем всей совокупности, и также учитывая, что дисперсия очень велика, необходимо применить коррекцию для конечной совокупности (корректировка на конечную популяцию):
[
n_{корр} = \frac{n_0 N}{N + n_0 - 1}
]
где ( n_0 ) — объем выборки при бесконечной популяции, равен 160.
Подставим:
[
n_{корр} = \frac{160 \times 63}{63 + 160 - 1} = \frac{10080}{222} \approx 45.4
]
Ответ:
Интервал отбора при механической выборке должен быть выбран так, чтобы выборка содержала около 45-46 предприятий, что соответствует выборочному интервалу 1/45 или 1/46.
Это означает, что для получения нужной точности при доверительном уровне 99.7%, необходимо выбрать каждые 45-й или 46-й объект из генеральной совокупности.
Если нужно более конкретное объяснение или помощь, — пишите!
