Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача:
У двузначного числа поменяли местами цифры. После этого новое число стало меньше исходного на 36. Нужно найти наименьшее исходное число.
Шаг 1. Обозначение переменных
Пусть:
- x — исходное двузначное число;
- t — цифра десятков исходного числа;
- u — цифра единиц исходного числа.
Тогда исходное число можно записать так:
[ x = 10t + u ]
Где:
- ( t ) — цифра десятков (от 1 до 9, так как число двузначное),
- ( u ) — цифра единиц (от 0 до 9).
Шаг 2. Записываем условие
После обмена цифр число становится:
[ \text{новое число} = 10u + t ]
По условию:
[ x - (10u + t) = 36 ]
Подставим ( x = 10t + u ):
[
(10t + u) - (10u + t) = 36
]
Шаг 3. Упростим выражение
Раскроем скобки:
[
10t + u - 10u - t = 36
]
Объединим похожие слагаемые:
[
(10t - t) + (u - 10u) = 36
]
[
9t - 9u = 36
]
Вынесем 9 за скобки:
[
9(t - u) = 36
]
Разделим обе части уравнения на 9:
[
t - u = 4
]
Шаг 4. Ограничения
Из условия:
- ( t ) — цифра десятков, от 1 до 9,
- ( u ) — цифра единиц, от 0 до 9,
- ( t - u = 4 ).
Значит, ( u = t - 4 ).
Так как ( u \geq 0 ), то:
[
t - 4 \geq 0 \implies t \geq 4
]
Также, так как ( t \leq 9 ), то:
[
t \leq 9
]
И ( u = t - 4 \leq 9 ) — это выполняется при ( t \leq 13 ), а так как максимум ( t = 9 ), это условие выполнено.
Шаг 5. Находим возможные значения
Для минимизации исходного числа ( x = 10t + u ) выберем наименьшее возможное ( t ), при котором ( u = t - 4 ) — минимальное ( t \geq 4 ).
Проверим:
Если ( t=4 ):
Тогда ( u=4-4=0 ).
Исходное число: ( x=10*4+0=40 ).
Если ( t=5 ):
Тогда ( u=5-4=1 ), число: ( 10*5+1=51 ).
Если ( t=6 ):
Тогда ( u=2 ), число: ( 62 ).
И так далее, числа увеличиваются.
Ответ:
Самое маленькое исходное число — при минимальном ( t=4 ):
[
x = 40
]
Проверка:
Обменяем цифры ( 4 ) и ( 0 ):
- Исходное число: ( 40 ),
- Новое число после обмена: ( 04 = 4 ),
- Разница: ( 40 - 4 = 36 ).
Верно!
Итог:
Минимальное исходное число — 40.
