У одного двузначного числа поменяли местами цифры, в результате оно уменьшилось на 36 . Найди наименьшее возможное изначальное число.
Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача:
У двузначного числа поменяли местами цифры. После этого новое число стало меньше исходного на 36. Нужно найти наименьшее исходное число.
Шаг 1. Обозначение переменных
Пусть:
- x — исходное двузначное число;
- t — цифра десятков исходного числа;
- u — цифра единиц исходного числа.
Тогда исходное число можно записать так:
\[ x = 10t + u \]
Где:
- \( t \) — цифра десятков (от 1 до 9, так как число двузначное),
- \( u \) — цифра единиц (от 0 до 9).
Шаг 2. Записываем условие
После обмена цифр число становится:
\[ \text{новое число} = 10u + t \]
По условию:
\[ x - (10u + t) = 36 \]
Подставим \( x = 10t + u \):
\[
(10t + u) - (10u + t) = 36
\]
Шаг 3. Упростим выражение
Раскроем скобки:
\[
10t + u - 10u - t = 36
\]
Объединим похожие слагаемые:
\[
(10t - t) + (u - 10u) = 36
\]
\[
9t - 9u = 36
\]
Вынесем 9 за скобки:
\[
9(t - u) = 36
\]
Разделим обе части уравнения на 9:
\[
t - u = 4
\]
Шаг 4. Ограничения
Из условия:
- \( t \) — цифра десятков, от 1 до 9,
- \( u \) — цифра единиц, от 0 до 9,
- \( t - u = 4 \).
Значит, \( u = t - 4 \).
Так как \( u \geq 0 \), то:
\[
t - 4 \geq 0 \implies t \geq 4
\]
Также, так как \( t \leq 9 \), то:
\[
t \leq 9
\]
И \( u = t - 4 \leq 9 \) — это выполняется при \( t \leq 13 \), а так как максимум \( t = 9 \), это условие выполнено.
Шаг 5. Находим возможные значения
Для минимизации исходного числа \( x = 10t + u \) выберем наименьшее возможное \( t \), при котором \( u = t - 4 \) — минимальное \( t \geq 4 \).
Проверим:
Если \( t=4 \):
Тогда \( u=4-4=0 \).
Исходное число: \( x=10*4+0=40 \).Если \( t=5 \):
Тогда \( u=5-4=1 \), число: \( 10*5+1=51 \).Если \( t=6 \):
Тогда \( u=2 \), число: \( 62 \).
И так далее, числа увеличиваются.
Ответ:
Самое маленькое исходное число — при минимальном \( t=4 \):
\[ x = 40 \]
Проверка:
Обменяем цифры \( 4 \) и \( 0 \):
- Исходное число: \( 40 \),
- Новое число после обмена: \( 04 = 4 \),
- Разница: \( 40 - 4 = 36 \).
Верно!
Итог:
Минимальное исходное число — 40.
