Симметричную монету подбросили 5 раз. Известно, что по крайней мере один раз выпала орел. Какова вероятность события «решка выпала ровно четыре раза»? Ответ запишите в виде…

Данная задача — это задача по теории вероятностей, связанная с условиями и событиями, происходящими при нескольких бросках монеты.

Условие:
Монету подбросили 5 раз. Известно, что хотя бы один раз выпала орёл. Требуется найти вероятность того, что решка выпала ровно 4 раза, при условии, что есть хотя бы один орёл.

Шаг 1. Обозначения и исходные данные

• Общее число возможных исходов при 5 бросках монеты:
  Каждое бросание — орёл (О) или решка (Р).
  Всего исходов: \(2^5 = 32\).

• Вероятность найти событие \(A\): "выпало ровно 4 решки".

• Событие \(B\): "хотя бы один орёл".

Нам нужно найти условную вероятность:
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \]

Шаг 2. Определим события

• Событие \(A\): "Решка выпала ровно 4 раза"
  Значит, в 5 бросках ровно 4 решки и 1 орёл.
  Количество таких случаев равно числу способов выбрать позицию орла среди 5 бросков:
  \[ \binom{5}{1} = 5. \]

• Событие \(B\): "Хоча бы один орёл"
  Это всё исходы, кроме случая, когда все 5 — решки.
  Общее число таких исходов:
  \[ 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31. \]

Шаг 3. Найдём \(P(A \cap B)\) и \(P(B)\)

• \(\boxed{P(A \cap B)}\): вероятность, что выпало ровно 4 решки и 1 орёл, при условии, что есть хотя бы один орёл.

Поскольку все исходы равновероятны, вероятность события равна числу подходящих исходов, делённому на общее число исходов.

• Число исходов, где ровно 4 решки и 1 орёл: как указано — 5 (выбор места орла).

• Общее число исходов: 32.

Однако, поскольку мы условно рассматриваем только исходы, где есть хотя бы один орёл, то:

\[ P(A \cap B) = \frac{\text{число исходов с ровно 4 решками и 1 орлом}}{\text{общее число исходов}} = \frac{5}{32}, \]

потому что все эти 5 исходов обязательно содержат хотя бы одного орла, и учитываются в общей выборке.

• \(P(B)\): вероятность, что есть хотя бы один орёл:
  \[ P(B) = \frac{\text{число исходов, где есть хотя бы один орёл}}{32} = \frac{31}{32}. \]

Шаг 4. Итоговое решение: условная вероятность

\[ P(\text{ровно 4 решки} \mid \text{хотя бы один орёл}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{31}{32}} = \frac{5}{31}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{5}{31}}. \]

Это — искомая вероятность.