Данная задача — это задача по теории вероятностей, связанная с условиями и событиями, происходящими при нескольких бросках монеты.
Условие:
Монету подбросили 5 раз. Известно, что хотя бы один раз выпала орёл. Требуется найти вероятность того, что решка выпала ровно 4 раза, при условии, что есть хотя бы один орёл.
Шаг 1. Обозначения и исходные данные
Общее число возможных исходов при 5 бросках монеты:
Каждое бросание — орёл (О) или решка (Р).
Всего исходов: (2^5 = 32).
Вероятность найти событие (A): "выпало ровно 4 решки".
Событие (B): "хотя бы один орёл".
Нам нужно найти условную вероятность:
[
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
]
Шаг 2. Определим события
Событие (A): "Решка выпала ровно 4 раза"
Значит, в 5 бросках ровно 4 решки и 1 орёл.
Количество таких случаев равно числу способов выбрать позицию орла среди 5 бросков:
[
\binom{5}{1} = 5.
]
Событие (B): "Хоча бы один орёл"
Это всё исходы, кроме случая, когда все 5 — решки.
Общее число таких исходов:
[
2^5 - 1 = 32 - 1 = 31.
]
Шаг 3. Найдём (P(A \cap B)) и (P(B))
- (\boxed{P(A \cap B)}): вероятность, что выпало ровно 4 решки и 1 орёл, при условии, что есть хотя бы один орёл.
Поскольку все исходы равновероятны, вероятность события равна числу подходящих исходов, делённому на общее число исходов.
Однако, поскольку мы условно рассматриваем только исходы, где есть хотя бы один орёл, то:
[
P(A \cap B) = \frac{\text{число исходов с ровно 4 решками и 1 орлом}}{\text{общее число исходов}} = \frac{5}{32},
]
потому что все эти 5 исходов обязательно содержат хотя бы одного орла, и учитываются в общей выборке.
- (P(B)): вероятность, что есть хотя бы один орёл:
[
P(B) = \frac{\text{число исходов, где есть хотя бы один орёл}}{32} = \frac{31}{32}.
]
Шаг 4. Итоговое решение: условная вероятность
[
P(\text{ровно 4 решки} \mid \text{хотя бы один орёл}) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{31}{32}} = \frac{5}{31}.
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{5}{31}}.
]
Это — искомая вероятность.
