f(x) = (3x + 2)⁴ и найти производную от f (1)

Рассматриваем функцию:
\[f(x) = (3x + 2)^4\]

Задача: найти производную функции и вычислить её значение в точке \(x=1\).

Шаг 1: Найти производную функции \(f(x)\)

Используем цепное правило (поскольку у нас сложная функция вида \(u(x)^n\), где \(u(x) = 3x + 2\)).

Цепное правило:
Если \(f(x) = [u(x)]^n\), то
\(f'(x) = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)\)

В нашем случае:

• \(u(x) = 3x + 2\)
• \(n = 4\)

Шаг 2: Найти производную внутренней функции \(u(x)\):

\[u'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 2) = 3\]

Шаг 3: Подставляем все в цепное правило:

\[f'(x) = 4 \cdot (3x + 2)^3 \cdot 3 = 12 \cdot (3x + 2)^3\]

Итак, производная:

\[ f'(x) = 12 (3x + 2)^3 \]

Шаг 4: Вычисляем значение производной в точке \(x=1\):

Подставляем \(x=1\):

\[ f'(1) = 12 \cdot (3 \cdot 1 + 2)^3 = 12 \cdot (3 + 2)^3 = 12 \cdot 5^3 \]

Вычислим \(5^3\):

\[ 5^3 = 125 \]

Тогда:

\[ f'(1) = 12 \cdot 125 = 1500 \]

Итог:

\[ \boxed{ f'(1) = 1500 } \]

Если нужно более подробно разобрать любой из этапов, скажите!