Сократите дробь 18а в 15 степени в в 4 степени дробь 48а в 5 степени в в 8 степени
Давайте подробно решим задачу: сократить выражение
\[ \frac{(18a)^{15}}{(48a)^{20}}. \]
Шаг 1. Раскроем степени каждого из числителей и знаменателей
\[ (18a)^{15} = 18^{15} \cdot a^{15}, \] \[ (48a)^{20} = 48^{20} \cdot a^{20}. \]
Тогда исходное выражение станет:
\[ \frac{18^{15} \cdot a^{15}}{48^{20} \cdot a^{20}}. \]
Шаг 2. Упростим дробь, разделив степени \(a\)
\[ \frac{a^{15}}{a^{20}} = a^{15-20} = a^{-5}, \] то есть
\[ \frac{18^{15}}{48^{20}} \cdot a^{-5}. \]
Шаг 3. Упростим числовую часть \(\frac{18^{15}}{48^{20}}\).
Обратимся к разложению чисел на простые множители:
\[ 18 = 2 \cdot 3^2, \] \[ 48 = 2^4 \cdot 3, \]
поэтому
\[ 18^{15} = (2 \cdot 3^2)^{15} = 2^{15} \cdot 3^{30}, \] \[ 48^{20} = (2^4 \cdot 3)^{20} = 2^{80} \cdot 3^{20}. \]
Теперь разделим:
\[ \frac{2^{15} \cdot 3^{30}}{2^{80} \cdot 3^{20}} = 2^{15 - 80} \cdot 3^{30 - 20} = 2^{-65} \cdot 3^{10}. \]
Шаг 4. Соберем всё вместе
Общий результат:
\[ 2^{-65} \cdot 3^{10} \cdot a^{-5}. \]
Это можно записать как дробь:
\[ \frac{3^{10}}{2^{65} \cdot a^{5}}. \]
Итог:
\[ \boxed{ \frac{3^{10}}{2^{65} \cdot a^{5}}. } \]
Ответ: \(\displaystyle \frac{3^{10}}{2^{65} \cdot a^{5}}\).
