Сопоставь

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Задача требует сопоставить системы уравнений с их количеством решений.

Общая идея:

• Каждая система уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо единственное решение, либо не иметь решений вообще.
• Способ определить — сравнить коэффициенты уравнений, используя формулы для определения вида системы.

Анализ систем уравнений:

1. Первая система:

\[ \begin{cases} -3y - 7x = 13\\ 2x + 7y = 2 \end{cases} \]

• Коэффициенты перед переменными:

  • Первая: \(a_1 = -7\), \(b_1 = -3\)
  • Вторая: \(a_2= 2\), \(b_2= 7\)

• Обратите внимание на соотношение коэффициентов: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{-7}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{7} \]

• сравнив эти отношения, видно, что они не равны.

• Значит, система имеет единственное решение.

Подходит под описание: "имеет единственное решение, если \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)".

Это - системa № 4.

2. Вторая система:

\[ \begin{cases} 2x + 3y - 17 = 0 \\ 4x + 6y - 12 = 0 \end{cases} \]

• Коэффициенты:

  • Первая: \(a_1 = 2\), \(b_1=3\)
  • Вторая: \(a_2= 4\), \(b_2=6\)

• Посчитаем отношение: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

• Они равны, теперь сравним свободные члены: \[ \frac{c_1}{c_2} = \frac{-17}{-12} = \frac{17}{12} \]

• Поскольку отношение коэффициентов перед переменными равно, а отношение свободных членов — нет, это система несовместна — не имеет решений.

Это – системa № 5.

3. Третья система:

\[ \begin{cases} 2x - 3y + 14=0 \\ 6x - 9y + 42=0 \end{cases} \]

• Коэффициенты:

  • Первая: \(a_1=2\), \(b_1= -3\), \(c_1=14\)
  • Вторая: \(a_2=6\), \(b_2= -9\), \(c_2=42\)

• Соотношение коэффициентов: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \]

• Свободные члены: \(\frac{14}{42} = \frac{1}{3}\)

• Все три отношения равны, значит, система имеет бесконечно много решений.

Это – системa № 3.

4. Четвертая система:

\[ \begin{cases} -3y - 7x = 13\\ 2x + 7y = 2 \end{cases} \] (такие же уравнения, как в первом, только порядок переменных)

• У них одинаковый набор коэффициентов, только меняется знак, и коэффициенты перед x и y отличаются, их отношения: \[ \frac{-7}{2} \neq \frac{-3}{7} \]
• Условия для единственного решения, мы уже определили ранее.

Это – системa № 1.

Итог:

• Первая система — № 4
• Вторая система — № 5
• Третья система — № 3
• Четвертая система — № 1

Ответ:

Если нужно, могу оформить в виде соответствия:
1 — 4, 2 — 5, 3 — 3, 4 — 1.