Вопрос от Анонимного юзера 05 мая 2025 16:23

Question 1

В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 6,

Answer

Давайте поэтапно разберём решение этой задачи.

Шаг 1. Построение изображения и начальные данные

Треугольник ( ABC ), равнобедренный, с основанием ( AC = 6 ).
Угол при вершине ( B ): (\angle B = 120^\circ ).
Точка ( M ) — градус перпендикуляр, проведённый из точки ( B ) перпендикулярно плоскости ( ABC ).
Длина отрезка ( M C = 4 ).
Требуется найти угол между отрезком ( M C ) и плоскостью треугольника ( ABC ).

Шаг 2. Построение плоскости и обозначение точек

Обозначим точку ( A ) в начале координат: ( A = (0, 0, 0) ).
Пусть ( C ) находится на оси ( x ) вправо: ( C = (6, 0, 0) ). Тогда основание ( A C ) равно 6.

Обозначим вершину ( B ) так, чтобы обеспечить угол ( \angle ABC = 120^\circ ). Для этого нужно определить координаты ( B ).

Шаг 3. Координаты точки ( B )

Поскольку треугольник равнобедренный, его основание — ( AC ) на оси ( x ).

Пусть ( B ) находится в плоскости ( y z ), с координатами ( (x_B, y_B, z_B) ).

Обозначим условие, что ( A B = B C ).

( A = (0, 0, 0) ),
( C = (6, 0, 0) ),
( B = (x_B, y_B, z_B) ).

Условие равенства сторон: [ |A B| = |B C|. ]

Расстояния: [ |A B| = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + z_B^2}, ] [ |B C| = \sqrt{(x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2}. ]

Их равенство даст: [ x_B^2 + y_B^2 + z_B^2 = (x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2, ] [ x_B^2 = x_B^2 - 12 x_B + 36, ] замень за равенствуют: [ 0 = -12 x_B + 36 \Rightarrow 12 x_B = 36 \Rightarrow x_B = 3. ]

Полагаем, что ( x_B = 3 ).

Теперь найдём ( y_B ) и ( z_B ). Условие (\angle ABC = 120^\circ):

Векторы: [ \vec{A B} = (3, y_B, z_B), ] [ \vec{C B} = (3 - 6, y_B, z_B) = (-3, y_B, z_B). ]
Косинус угла (120^\circ): [ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}. ]
Векторное уравнение: [ \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C B}}{|\vec{A B}| |\vec{C B}|} = -\frac{1}{2}. ] Расчёт скалярного произведения: [ \vec{A B} \cdot \vec{C B} = 3 \times (-3) + y_B \times y_B + z_B \times z_B = -9 + y_B^2 + z_B^2. ] Длины: [ |\vec{A B}| = \sqrt{3^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}, ] [ |\vec{C B}| = \sqrt{(-3)^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}. ]

Так как длины равны, то: [ |\vec{A B}| |\vec{C B}| = 9 + y_B^2 + z_B^2. ]

Подставим всё: [ \frac{-9 + y_B^2 + z_B^2}{9 + y_B^2 + z_B^2} = -\frac{1}{2}. ]

Обозначим ( R^2 = y_B^2 + z_B^2 ), тогда: [ \frac{-9 + R^2}{9 + R^2} = -\frac{1}{2}. ]

Решим уравнение: [ 2(-9 + R^2) = -(9 + R^2), ] [ -18 + 2 R^2 = -9 - R^2, ] [ 2 R^2 + R^2 = -9 + 18, ] [ 3 R^2 = 9, ] [ R^2 = 3. ]

Следовательно: [ y_B^2 + z_B^2 = 3. ]

Для удобства выбираем ( y_B = \sqrt{3} ), ( z_B=0 ).

Итак: [ B = (3, \sqrt{3}, 0). ]

Шаг 4. Построение точек ( M ) и ( C )

( C = (6, 0, 0) ),
( B = (3, \sqrt{3}, 0) ).

Теперь берем точку ( M ) — перпендикуляр из ( B ) к плоскости ( ABC ), на расстояние 4.

Так как ( M ) — перпендикуляр, он лежит на вертикальной линии, проходящей через ( B ), и удалён на расстояние 4 в нормальном направлении к плоскости. Поскольку плоскость — в координатах изначально нивелирована по ( z ), выполним условие, что ( M ) — проект Б на перпендикуляр к плоскости ( ABC ), и ( z )-координаты соответствуют высоте.

Оцениваем сторону ( M C ). В условии дано ( M C = 4 ).

Шаг 5. Условие нахождения точки ( M )

( M ) лежит в вертикальной линии, проходящей через ( B ),
то есть ( M ) и ( B ) имеют одинаковые ( x ) и ( y ) координаты.

Значит: [ M = (3, \sqrt{3}, z_M), ] где ( z_M ) — искомая высота, чтобы ( M C = 4 ).

Расстояние ( M C ): [ | M C | = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - \sqrt{3})^2 + (0 - z_M)^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + z_M^2} = \sqrt{9 + 3 + z_M^2} = \sqrt{12 + z_M^2}. ]
По условию ( M C = 4 ): [ \sqrt{12 + z_M^2} = 4, ] [ 12 + z_M^2 = 16, ] [ z_M^2 = 4, ] [ z_M = \pm 2. ]

Возьмём ( z_M = 2 ) для определения положительного направления.

Итак: [ M = (3, \sqrt{3}, 2). ]

Шаг 6. Найти угол между ( M C ) и плоскостью ( ABC )

Вектор ( M C ): [ \vec{M C} = (6 - 3, 0 - \sqrt{3}, 0 - 2) = (3, -\sqrt{3}, -2). ]
Нормаль к плоскости ( ABC ):

Для нахождения нормали определим три точки ( A, B, C ).

Параметры плоскости:

( A = (0,0,0) ),
( B = (3, \sqrt{3}, 0) ),
( C = (6, 0, 0) ).

Нормаль ( \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} ):

[ \vec{A B} = (3, \sqrt{3}, 0), ] [ \vec{A C} = (6, 0, 0). ]

Векторное произведение: [ \vec{n} = (3, \sqrt{3}, 0) \times (6, 0, 0). ]

Вычисляем детально: [ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 3 & \sqrt{3} & 0 \ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (\sqrt{3} \times 0 - 0 \times 0) - \mathbf{j} (3 \times 0 - 0 \times 6) + \mathbf{k} (3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6). ]

Упрощаем:

( \mathbf{i} ) компонент: 0,
( \mathbf{j} ) компонент: 0,
( \mathbf{k} ) компонент: [ 3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6 = -6 \sqrt{3}. ]

Значит: [ \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}). ]

Модуль нормали: [ |\vec{n}| = 6 \sqrt{3}. ]

Шаг 7. Вычисление угла между ( \vec{M C} ) и плоскостью

Угол ( \theta ) между вектором ( \vec{M C} ) и плоскостью — это complemento угла между ( \vec{M C} ) и нормалью ( \vec{n} ): [ \cos \theta = \frac{|\vec{M C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{M C}| |\vec{n}|}. ]
Вектор ( \vec{M C} = (3, -\sqrt{3}, -2) ),
Нормаль ( \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}) ).

Скалярное произведение: [ \vec{M C} \cdot \vec{n} = 3 \times 0 + (-\sqrt{3}) \times 0 + (-2) \times (-6 \sqrt{3}) = 0 + 0 + 12 \sqrt{3}. ]

Длина ( |\vec{M C}| ): [ \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4. ]

Длина ( |\vec{n}| ): [ 6 \sqrt{3}. ]

Подставим: [ \cos \theta = \frac{12 \sqrt{3}}{4 \times 6 \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{24 \sqrt{3}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}. ]

Итак: [ \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ. ]

Ответ:

Угол между отрезком ( M C ) и плоскостью ( ABC ) равен (\boxed{60^\circ}).

Если необходимо, сделайте чертёж, который показывает:

Треугольник ( ABC ),
Поднятию ( M ) вертикально из ( B ) на высоту, соответствующую вектору ( (0,0,2) ),
Вектор ( M C ),
Нормаль к плоскости ( ABC ),
Угол между ( M C ) и плоскостью.

Если нужны дополнительные разъяснения или иллюстрация, сообщите!

Question 2

В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 6,

Давайте поэтапно разберём решение этой задачи. ### Шаг 1. Построение изображения и начальные данные - Треугольник \( ABC \), равнобедренный, с основанием \( AC = 6 \). - Угол при вершине \( B \): \(\angle B = 120^\circ \). - Точка \( M \) — градус перпендикуляр, проведённый из точки \( B \) перпендикулярно плоскости \( ABC \). - Длина отрезка \( M C = 4 \). - Требуется найти угол между отрезком \( M C \) и плоскостью треугольника \( ABC \). ### Шаг 2. Построение плоскости и обозначение точек - Обозначим точку \( A \) в начале координат: \( A = (0, 0, 0) \). - Пусть \( C \) находится на оси \( x \) вправо: \( C = (6, 0, 0) \). Тогда основание \( A C \) равно 6. Обозначим вершину \( B \) так, чтобы обеспечить угол \( \angle ABC = 120^\circ \). Для этого нужно определить координаты \( B \). ### Шаг 3. Координаты точки \( B \) Поскольку треугольник равнобедренный, его основание — \( AC \) на оси \( x \). - Пусть \( B \) находится в плоскости \( y z \), с координатами \( (x_B, y_B, z_B) \). Обозначим условие, что \( A B = B C \). - \( A = (0, 0, 0) \), - \( C = (6, 0, 0) \), - \( B = (x_B, y_B, z_B) \). Условие равенства сторон: \[ |A B| = |B C|. \] Расстояния: \[ |A B| = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + z_B^2}, \] \[ |B C| = \sqrt{(x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2}. \] Их равенство даст: \[ x_B^2 + y_B^2 + z_B^2 = (x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2, \] \[ x_B^2 = x_B^2 - 12 x_B + 36, \] замень за равенствуют: \[ 0 = -12 x_B + 36 \Rightarrow 12 x_B = 36 \Rightarrow x_B = 3. \] Полагаем, что \( x_B = 3 \). Теперь найдём \( y_B \) и \( z_B \). Условие \(\angle ABC = 120^\circ\): - Векторы: \[ \vec{A B} = (3, y_B, z_B), \] \[ \vec{C B} = (3 - 6, y_B, z_B) = (-3, y_B, z_B). \] - Косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}. \] - Векторное уравнение: \[ \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C B}}{|\vec{A B}| |\vec{C B}|} = -\frac{1}{2}. \] Расчёт скалярного произведения: \[ \vec{A B} \cdot \vec{C B} = 3 \times (-3) + y_B \times y_B + z_B \times z_B = -9 + y_B^2 + z_B^2. \] Длины: \[ |\vec{A B}| = \sqrt{3^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}, \] \[ |\vec{C B}| = \sqrt{(-3)^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}. \] Так как длины равны, то: \[ |\vec{A B}| |\vec{C B}| = 9 + y_B^2 + z_B^2. \] Подставим всё: \[ \frac{-9 + y_B^2 + z_B^2}{9 + y_B^2 + z_B^2} = -\frac{1}{2}. \] Обозначим \( R^2 = y_B^2 + z_B^2 \), тогда: \[ \frac{-9 + R^2}{9 + R^2} = -\frac{1}{2}. \] Решим уравнение: \[ 2(-9 + R^2) = -(9 + R^2), \] \[ -18 + 2 R^2 = -9 - R^2, \] \[ 2 R^2 + R^2 = -9 + 18, \] \[ 3 R^2 = 9, \] \[ R^2 = 3. \] Следовательно: \[ y_B^2 + z_B^2 = 3. \] Для удобства выбираем \( y_B = \sqrt{3} \), \( z_B=0 \). Итак: \[ B = (3, \sqrt{3}, 0). \] ### Шаг 4. Построение точек \( M \) и \( C \) - \( C = (6, 0, 0) \), - \( B = (3, \sqrt{3}, 0) \). Теперь берем точку \( M \) — перпендикуляр из \( B \) к плоскости \( ABC \), на расстояние 4. Так как \( M \) — перпендикуляр, он лежит на вертикальной линии, проходящей через \( B \), и удалён на расстояние 4 в нормальном направлении к плоскости. Поскольку плоскость — в координатах изначально нивелирована по \( z \), выполним условие, что \( M \) — проект Б на перпендикуляр к плоскости \( ABC \), и \( z \)-координаты соответствуют высоте. Оцениваем сторону \( M C \). В условии дано \( M C = 4 \). ### Шаг 5. Условие нахождения точки \( M \) - \( M \) лежит в вертикальной линии, проходящей через \( B \), - то есть \( M \) и \( B \) имеют одинаковые \( x \) и \( y \) координаты. Значит: \[ M = (3, \sqrt{3}, z_M), \] где \( z_M \) — искомая высота, чтобы \( M C = 4 \). - Расстояние \( M C \): \[ | M C | = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - \sqrt{3})^2 + (0 - z_M)^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + z_M^2} = \sqrt{9 + 3 + z_M^2} = \sqrt{12 + z_M^2}. \] - По условию \( M C = 4 \): \[ \sqrt{12 + z_M^2} = 4, \] \[ 12 + z_M^2 = 16, \] \[ z_M^2 = 4, \] \[ z_M = \pm 2. \] Возьмём \( z_M = 2 \) для определения положительного направления. Итак: \[ M = (3, \sqrt{3}, 2). \] ### Шаг 6. Найти угол между \( M C \) и плоскостью \( ABC \) - Вектор \( M C \): \[ \vec{M C} = (6 - 3, 0 - \sqrt{3}, 0 - 2) = (3, -\sqrt{3}, -2). \] - Нормаль к плоскости \( ABC \): Для нахождения нормали определим три точки \( A, B, C \). Параметры плоскости: - \( A = (0,0,0) \), - \( B = (3, \sqrt{3}, 0) \), - \( C = (6, 0, 0) \). Нормаль \( \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} \): \[ \vec{A B} = (3, \sqrt{3}, 0), \] \[ \vec{A C} = (6, 0, 0). \] Векторное произведение: \[ \vec{n} = (3, \sqrt{3}, 0) \times (6, 0, 0). \] Вычисляем детально: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (\sqrt{3} \times 0 - 0 \times 0) - \mathbf{j} (3 \times 0 - 0 \times 6) + \mathbf{k} (3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6). \] Упрощаем: - \( \mathbf{i} \) компонент: 0, - \( \mathbf{j} \) компонент: 0, - \( \mathbf{k} \) компонент: \[ 3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6 = -6 \sqrt{3}. \] Значит: \[ \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}). \] Модуль нормали: \[ |\vec{n}| = 6 \sqrt{3}. \] ### Шаг 7. Вычисление угла между \( \vec{M C} \) и плоскостью - Угол \( \theta \) между вектором \( \vec{M C} \) и плоскостью — это complemento угла между \( \vec{M C} \) и нормалью \( \vec{n} \): \[ \cos \theta = \frac{|\vec{M C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{M C}| |\vec{n}|}. \] - Вектор \( \vec{M C} = (3, -\sqrt{3}, -2) \), - Нормаль \( \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}) \). Скалярное произведение: \[ \vec{M C} \cdot \vec{n} = 3 \times 0 + (-\sqrt{3}) \times 0 + (-2) \times (-6 \sqrt{3}) = 0 + 0 + 12 \sqrt{3}. \] Длина \( |\vec{M C}| \): \[ \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4. \] Длина \( |\vec{n}| \): \[ 6 \sqrt{3}. \] Подставим: \[ \cos \theta = \frac{12 \sqrt{3}}{4 \times 6 \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{24 \sqrt{3}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}. \] Итак: \[ \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ. \] ### **Ответ:** **Угол между отрезком \( M C \) и плоскостью \( ABC \) равен \(\boxed{60^\circ}\).** --- Если необходимо, сделайте чертёж, который показывает: - Треугольник \( ABC \), - Поднятию \( M \) вертикально из \( B \) на высоту, соответствующую вектору \( (0,0,2) \), - Вектор \( M C \), - Нормаль к плоскости \( ABC \), - Угол между \( M C \) и плоскостью. Если нужны дополнительные разъяснения или иллюстрация, сообщите!

Answer

Давайте поэтапно разберём решение этой задачи. ### Шаг 1. Построение изображения и начальные данные - Треугольник \( ABC \), равнобедренный, с основанием \( AC = 6 \). - Угол при вершине \( B \): \(\angle B = 120^\circ \). - Точка \( M \) — градус перпендикуляр, проведённый из точки \( B \) перпендикулярно плоскости \( ABC \). - Длина отрезка \( M C = 4 \). - Требуется найти угол между отрезком \( M C \) и плоскостью треугольника \( ABC \). ### Шаг 2. Построение плоскости и обозначение точек - Обозначим точку \( A \) в начале координат: \( A = (0, 0, 0) \). - Пусть \( C \) находится на оси \( x \) вправо: \( C = (6, 0, 0) \). Тогда основание \( A C \) равно 6. Обозначим вершину \( B \) так, чтобы обеспечить угол \( \angle ABC = 120^\circ \). Для этого нужно определить координаты \( B \). ### Шаг 3. Координаты точки \( B \) Поскольку треугольник равнобедренный, его основание — \( AC \) на оси \( x \). - Пусть \( B \) находится в плоскости \( y z \), с координатами \( (x_B, y_B, z_B) \). Обозначим условие, что \( A B = B C \). - \( A = (0, 0, 0) \), - \( C = (6, 0, 0) \), - \( B = (x_B, y_B, z_B) \). Условие равенства сторон: \[ |A B| = |B C|. \] Расстояния: \[ |A B| = \sqrt{x_B^2 + y_B^2 + z_B^2}, \] \[ |B C| = \sqrt{(x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2}. \] Их равенство даст: \[ x_B^2 + y_B^2 + z_B^2 = (x_B - 6)^2 + y_B^2 + z_B^2, \] \[ x_B^2 = x_B^2 - 12 x_B + 36, \] замень за равенствуют: \[ 0 = -12 x_B + 36 \Rightarrow 12 x_B = 36 \Rightarrow x_B = 3. \] Полагаем, что \( x_B = 3 \). Теперь найдём \( y_B \) и \( z_B \). Условие \(\angle ABC = 120^\circ\): - Векторы: \[ \vec{A B} = (3, y_B, z_B), \] \[ \vec{C B} = (3 - 6, y_B, z_B) = (-3, y_B, z_B). \] - Косинус угла \(120^\circ\): \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}. \] - Векторное уравнение: \[ \frac{\vec{A B} \cdot \vec{C B}}{|\vec{A B}| |\vec{C B}|} = -\frac{1}{2}. \] Расчёт скалярного произведения: \[ \vec{A B} \cdot \vec{C B} = 3 \times (-3) + y_B \times y_B + z_B \times z_B = -9 + y_B^2 + z_B^2. \] Длины: \[ |\vec{A B}| = \sqrt{3^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}, \] \[ |\vec{C B}| = \sqrt{(-3)^2 + y_B^2 + z_B^2} = \sqrt{9 + y_B^2 + z_B^2}. \] Так как длины равны, то: \[ |\vec{A B}| |\vec{C B}| = 9 + y_B^2 + z_B^2. \] Подставим всё: \[ \frac{-9 + y_B^2 + z_B^2}{9 + y_B^2 + z_B^2} = -\frac{1}{2}. \] Обозначим \( R^2 = y_B^2 + z_B^2 \), тогда: \[ \frac{-9 + R^2}{9 + R^2} = -\frac{1}{2}. \] Решим уравнение: \[ 2(-9 + R^2) = -(9 + R^2), \] \[ -18 + 2 R^2 = -9 - R^2, \] \[ 2 R^2 + R^2 = -9 + 18, \] \[ 3 R^2 = 9, \] \[ R^2 = 3. \] Следовательно: \[ y_B^2 + z_B^2 = 3. \] Для удобства выбираем \( y_B = \sqrt{3} \), \( z_B=0 \). Итак: \[ B = (3, \sqrt{3}, 0). \] ### Шаг 4. Построение точек \( M \) и \( C \) - \( C = (6, 0, 0) \), - \( B = (3, \sqrt{3}, 0) \). Теперь берем точку \( M \) — перпендикуляр из \( B \) к плоскости \( ABC \), на расстояние 4. Так как \( M \) — перпендикуляр, он лежит на вертикальной линии, проходящей через \( B \), и удалён на расстояние 4 в нормальном направлении к плоскости. Поскольку плоскость — в координатах изначально нивелирована по \( z \), выполним условие, что \( M \) — проект Б на перпендикуляр к плоскости \( ABC \), и \( z \)-координаты соответствуют высоте. Оцениваем сторону \( M C \). В условии дано \( M C = 4 \). ### Шаг 5. Условие нахождения точки \( M \) - \( M \) лежит в вертикальной линии, проходящей через \( B \), - то есть \( M \) и \( B \) имеют одинаковые \( x \) и \( y \) координаты. Значит: \[ M = (3, \sqrt{3}, z_M), \] где \( z_M \) — искомая высота, чтобы \( M C = 4 \). - Расстояние \( M C \): \[ | M C | = \sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - \sqrt{3})^2 + (0 - z_M)^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + z_M^2} = \sqrt{9 + 3 + z_M^2} = \sqrt{12 + z_M^2}. \] - По условию \( M C = 4 \): \[ \sqrt{12 + z_M^2} = 4, \] \[ 12 + z_M^2 = 16, \] \[ z_M^2 = 4, \] \[ z_M = \pm 2. \] Возьмём \( z_M = 2 \) для определения положительного направления. Итак: \[ M = (3, \sqrt{3}, 2). \] ### Шаг 6. Найти угол между \( M C \) и плоскостью \( ABC \) - Вектор \( M C \): \[ \vec{M C} = (6 - 3, 0 - \sqrt{3}, 0 - 2) = (3, -\sqrt{3}, -2). \] - Нормаль к плоскости \( ABC \): Для нахождения нормали определим три точки \( A, B, C \). Параметры плоскости: - \( A = (0,0,0) \), - \( B = (3, \sqrt{3}, 0) \), - \( C = (6, 0, 0) \). Нормаль \( \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} \): \[ \vec{A B} = (3, \sqrt{3}, 0), \] \[ \vec{A C} = (6, 0, 0). \] Векторное произведение: \[ \vec{n} = (3, \sqrt{3}, 0) \times (6, 0, 0). \] Вычисляем детально: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & \sqrt{3} & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} (\sqrt{3} \times 0 - 0 \times 0) - \mathbf{j} (3 \times 0 - 0 \times 6) + \mathbf{k} (3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6). \] Упрощаем: - \( \mathbf{i} \) компонент: 0, - \( \mathbf{j} \) компонент: 0, - \( \mathbf{k} \) компонент: \[ 3 \times 0 - \sqrt{3} \times 6 = -6 \sqrt{3}. \] Значит: \[ \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}). \] Модуль нормали: \[ |\vec{n}| = 6 \sqrt{3}. \] ### Шаг 7. Вычисление угла между \( \vec{M C} \) и плоскостью - Угол \( \theta \) между вектором \( \vec{M C} \) и плоскостью — это complemento угла между \( \vec{M C} \) и нормалью \( \vec{n} \): \[ \cos \theta = \frac{|\vec{M C} \cdot \vec{n}|}{|\vec{M C}| |\vec{n}|}. \] - Вектор \( \vec{M C} = (3, -\sqrt{3}, -2) \), - Нормаль \( \vec{n} = (0, 0, -6 \sqrt{3}) \). Скалярное произведение: \[ \vec{M C} \cdot \vec{n} = 3 \times 0 + (-\sqrt{3}) \times 0 + (-2) \times (-6 \sqrt{3}) = 0 + 0 + 12 \sqrt{3}. \] Длина \( |\vec{M C}| \): \[ \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4. \] Длина \( |\vec{n}| \): \[ 6 \sqrt{3}. \] Подставим: \[ \cos \theta = \frac{12 \sqrt{3}}{4 \times 6 \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{24 \sqrt{3}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}. \] Итак: \[ \theta = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ. \] ### **Ответ:** **Угол между отрезком \( M C \) и плоскостью \( ABC \) равен \(\boxed{60^\circ}\).** --- Если необходимо, сделайте чертёж, который показывает: - Треугольник \( ABC \), - Поднятию \( M \) вертикально из \( B \) на высоту, соответствующую вектору \( (0,0,2) \), - Вектор \( M C \), - Нормаль к плоскости \( ABC \), - Угол между \( M C \) и плоскостью. Если нужны дополнительные разъяснения или иллюстрация, сообщите!