К окружности с центром O проведена касательная FK (K-точка касания)Найти отрезок FK,если радиус окружности равен 14 см и угол FOK= 45 градусов

Давайте решим задачу поэтапно с объяснениями. **Дано:** - Радиус окружности \( R = 14 \) см - Центр окружности \( O \) - Точка касания \( K \) на окружности - Проведена касательная \( FK \), и \( K \) — точка касания - Угол \( \angle FOK = 45^\circ \) **Задача:** Найти длину отрезка \( FK \). --- ### Шаг 1: Анализ задачи и рисование Вообразим схему: - В точке \( O \) — центр окружности. - В точке \( K \) — касательная \( FK \), касательная касается окружности, то есть \( K \) — точка касания. - Так как \( K \) — точка касания, то касательная \( FK \) касается окружности в \( K \). --- ### Шаг 2: Свойства касательной - Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ OK \perp FK \] - Значит, \(\angle OKF = 90^\circ\). --- ### Шаг 3: Анализ угла \( \angle FOK = 45^\circ \) - Точка \( F \) — на касательной \( FK \). - Угол \( \angle FOK \) равен \(45^\circ\). Обозначим: - \( R = OK = 14 \) см (радиус). - \( OF \) — расстояние от центра \( O \) до точки \( F \). --- ### Шаг 4: Введение обозначений и понимание геометрической конфигурации - В круге: \[ OK \perp FK \] - \( \angle FOK = 45^\circ \), где \( O \) — центр, \( K \) — точка касания, \( F \) — точка на касательной, продолжение которой встречается с окружностью в \( K \). Можно представить, что треугольник \( OFK \): - \( OK \) — радиус, перпендикуляр касательной \( FK \). - Нам нужно найти длину \( FK \). --- ### Шаг 5: Рассмотрение треугольника \( OFK \) Известно: - \( OK = 14 \) см. - \( \angle FOK = 45^\circ \). Так как \( OK \perp FK \), то \( OK \) перпендикулярно касательной, следовательно: - \( OF \) — расстояние от центра до точки \( F \), - \(\angle FOK = 45^\circ \). Пусть: - \( OF = x \), - Тогда \( \angle OFK \) — между \( OF \) и \( OK \). --- ### Шаг 6: Использование тригонометрии Рассмотрим треугольник \( OFK \): - Углы: \( \angle FOK = 45^\circ \), - В этом треугольнике, используя тригонометрию, можем найти отношение сторон. Также заметим: - так как \( OK \perp FK \), то \( OK \) — высота для треугольника \( OFK \), - \(\angle FOK = 45^\circ\), - Расстояние \( OF \) можно найти относительно \( R \). --- ### Шаг 7: Рассмотрение окружности и касательной Из свойств касательной и радиуса: - \( OK \) перпендикулярна \( FK \), - и \( O \) — центр окружности. Точка \( F \) — лежит вне окружности, а касательная касается в точке \( K \). Рассмотрим треугольник \( O F K \): - Угол \( \angle F O K = 45^\circ \), - \( OK = 14 \) см. --- ### Шаг 8: Определение положения точки \( F \) Из треугольника \( OFK \): - Угол \( \angle FOK = 45^\circ \), - \( OK \) — радиус, перпендикуляр касательной. Высота \( OK \) равна \(14\) см, и точка \( F \) лежит на касательной, образуя угол \( 45^\circ \). --- ### Итог: - \( OF \) — расстояние от центра до точки \( F \). Поскольку \( \angle OFK = 45^\circ \), и \( OK \perp FK \), то треугольник \( OFK \) — прямоугольный (так как \( OK \perp FK \)), и угол \( \angle OFK \) равен \( 45^\circ \); - В прямоугольном треугольнике, где один угол \(45^\circ\), отношение гипотенузы к катету равно \( \sqrt{2} \). --- ### Шаг 9: Нахождение длины \( OF \) Если \( OK \) — катет, то гипотенуза \( OF \): \[ OF = OK \times \sqrt{2} = 14 \times \sqrt{2} \approx 14 \times 1.414 \approx 19.8 \text{ см} \] --- ### Шаг 10: Длина \( FK \) - В треугольнике \( OFK \) (прямоугольном): \[ FK = \sqrt{OF^2 - OK^2} = \sqrt{(19.8)^2 - 14^2} \] \[ FK = \sqrt{392.04 - 196} = \sqrt{196.04} \approx 14 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** **Длина отрезка \( FK \) примерно равна 14 см.** --- Если нужно, могу пояснить подробнее или сделать более точные вычисления!