В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. боковая поверхность равна 16 см². найдите его объем. Перенеси на тетрадь
Давайте решим задачу поэтапно, чтобы понять, как найти объем прямого параллелепипеда.
Дано:
- Стороны основания: \( a = 1 \text{ см} \), \( b = 2 \text{ см} \)
- Угол между сторонами основания: \( \theta = 30^\circ \)
- Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 16 \text{ см}^2 \)
Найти: объем параллелепипеда \( V \).
Шаг 1: Восстановим форму основания и боковые поверхности
Основание — это параллелограмм со сторонами 1 см и 2 см, образующее угол 30°.
Площадь основания:
\[ S_{осн} = a \times b \times \sin \theta \]
Вычислим это:
\[ S_{осн} = 1 \times 2 \times \sin 30^\circ \]
Знаем, что \(\sin 30^\circ = 0.5\):
\[ S_{осн} = 2 \times 0.5 = 1 \text{ см}^2 \]
Шаг 2: Это основание. Теперь определим боковые поверхности
Боковые поверхности — это реликвии, образованные линиями высоты, перпендикулярными к граням.
Для прямого параллелепипеда с основанием в виде параллелограмма боковые поверхности — это прямоугольники, их площади считаются по формуле:
\[ S_{бок} = \text{периметр основания} \times \text{высота} \]
или, более точно, при разрезании параллелепипеда по боковым стенкам:
- Каждая боковая поверхность — это прямоугольник, у которого одна сторона — сторона основания, а другая — высота \(h\).
Общая боковая площадь — сумма площадей всех боковых поверхностей.
Обозначим высоту по направлению, которая перпендикулярна плоскости основания: \( h \).
Шаг 3: Выразим \(S_{бок}\)
Площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = (a + b) \times h \]
Однако в данном случае (боковая поверхность равна 16 см²), нужно уточнить, что речь идет о полной боковой поверхности всего параллелепипеда.
Так как боковые поверхности — это 4 прямоугольника, их сумма:
\[ S_{бок} = 2 \times a \times h + 2 \times b \times h = 2h(a + b) \]
Или проще:
\[ S_{бок} = 2h(a + b) \]
Подставим числа:
\[ 16 = 2h (1 + 2) = 2h \times 3 = 6h \]
Следовательно:
\[ h = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \text{ см} \]
Шаг 4: Найдём объем параллелепипеда
Объем:
\[ V = S_{осн} \times h \]
Мы уже нашли \(S_{осн} = 1 \text{ см}^2\):
\[ V = 1 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3} \text{ см}^3 \]
Ответ:
Объем параллелепипеда — \(\frac{8}{3}\) см³.
Если нужно, я могу перенести решение на тетрадь в виде аккуратно оформленного текста.
