Давайте последовательно решим каждую задачу и подробно объясним каждый шаг.
10. Дано уравнение: ( 2x^2 + 6x + c = 0 ).
Известно, что для корней уравнения ( x_1 ) и ( x_2 ), выполнено условие: ( x_1 + x_2 = 1 ), и также коэффициент ( c ) равен 3.
Нужно найти сумму квадратов корней: ( x_1^2 + x_2^2 ).
**
Решение:**
Используем формулы Viète для квадратного уравнения:
- Сумма корней: ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ).
- Произведение корней: ( x_1 x_2 = \frac{c}{a} ).
Подставим данные:
- ( a = 2 ),
- ( b = 6 ),
- ( c = 3 ).
Тогда:
- ( x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3 ).
По условию, ( x_1 + x_2 = 1 ).
Но по формуле Viète мы получили ( -3 ), что не совпадает с условием. Следовательно, есть противоречие, однако в условии сказано, что "известно, что для корней ...", возможно, имеется опечатка или неправильная формулировка.
Предположим, что приоритетное условие — ( x_1 + x_2 = 1 ), тогда коэффициент ( b ) должен быть:
[
-\frac{b}{a} = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = -2.
]
Но в условии ( b = 6 ), поэтому предположим, что условие о сумме корней — правильное, а ( c=3 ) — верное. Тогда вычислим сумму квадратов с учетом:
Нам известна сумма:
[
x_1 + x_2 = 1.
]
Найдем произведение ( x_1 x_2 ):
по формуле (\displaystyle c = 3 ), а по Viète:
[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}.
]
Используем формулу для суммы квадратов:
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
]
Подставим известные значения:
[
(1)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1 - 3 = -2.
]
Ответ:
[
\boxed{-2}
]
11. Найти сумму квадратов всех корней уравнения:
[x^2 - 4x - 5 = 8.]
Решение:
- Перепишем уравнение, приведя его к стандартной форме:
[
x^2 - 4x - 5 = 8 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 13 = 0.
]
- Найдем сумму и произведение корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4,
]
[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-13}{1} = -13.
]
- Сумма квадратов корней:
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.
]
- Подставим значения:
[
4^2 - 2 \times (-13) = 16 + 26 = 42.
]
Ответ:
[
\boxed{42}
]
12. Происходит изменение цены на холодильник:
- В начале лета цена увеличилась на ( x )%.
- В конце зимы цена уменьшилась на ( x )% (то есть на то же число процентов).
- Итог: цена стала на 9% дешевле, чем в конце весны (после увеличения).
Нужно найти, на сколько процентов увеличилась цена в начале лета (( x )).
Обозначения:
- Пусть начальная цена — ( P ).
Шаги решения:
- После увеличения на ( x )% цена станет:
[
P_1 = P \times \left(1 + \frac{x}{100}\right).
]
- После уменьшения на ( x )% цена станет:
[
P_2 = P_1 \times \left(1 - \frac{x}{100}\right).
]
- По условию, итоговая цена стала на 9% дешевле начальной:
[
P_2 = P \times (1 - 0.09) = 0.91 P.
]
- Запишем уравнение:
[
P \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.91 P.
]
- Сократим ( P ):
[
\left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.91.
]
- Раскроем скобки:
[
1 - \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.91.
]
- Решим для ( x ):
[
1 - \frac{x^2}{10 000} = 0.91,
]
[
\frac{x^2}{10 000} = 1 - 0.91 = 0.09,
]
[
x^2 = 0.09 \times 10 000 = 900,
]
[
x = \pm \sqrt{900} = \pm 30.
]
Поскольку увеличение цены обозначает положительное число, берем:
[
x = 30%.
]
Ответ:
[
\boxed{30%}
]
Если хотите, я могу помочь дополнительно или объяснить что-то подробнее!
