10. Дано уравнение: 2x² + 6х + с = 0. Известно, что для корней 1 1 уравнения х, и х, верно равенство значение коэффициента с. = 3. Найдите + xx Решение: 11. Найдите сумму…
10. Дано уравнение: 2x² + 6х + с = 0. Известно, что для корней 1 1 уравнения х, и х, верно равенство значение коэффициента с. = 3. Найдите + xx Решение: 11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения: x²-4x-5=8. 12. С наступлением лета цена на холодильники увеличилась, а с наступлением зимы уменьшилась на одно и то же чис-ло процентов. В результате холодильник стал стоить на 9% дешевле, чем в конце весны. На сколько процентов подорожал холодильник в начале лета Решение:
Давайте последовательно решим каждую задачу и подробно объясним каждый шаг.
10. Дано уравнение: \( 2x^2 + 6x + c = 0 \).
Известно, что для корней уравнения \( x_1 \) и \( x_2 \), выполнено условие: \( x_1 + x_2 = 1 \), и также коэффициент \( c \) равен 3.
Нужно найти сумму квадратов корней: \( x_1^2 + x_2^2 \).
**
Решение:**
Используем формулы Viète для квадратного уравнения:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \).
- Произведение корней: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \).
Подставим данные:
- \( a = 2 \),
- \( b = 6 \),
- \( c = 3 \).
Тогда:
- \( x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3 \).
По условию, \( x_1 + x_2 = 1 \).
Но по формуле Viète мы получили \( -3 \), что не совпадает с условием. Следовательно, есть противоречие, однако в условии сказано, что "известно, что для корней ...", возможно, имеется опечатка или неправильная формулировка.
Предположим, что приоритетное условие — \( x_1 + x_2 = 1 \), тогда коэффициент \( b \) должен быть:
\[ -\frac{b}{a} = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = -2. \]
Но в условии \( b = 6 \), поэтому предположим, что условие о сумме корней — правильное, а \( c=3 \) — верное. Тогда вычислим сумму квадратов с учетом:
Нам известна сумма:
\[ x_1 + x_2 = 1. \]
Найдем произведение \( x_1 x_2 \):
по формуле \(\displaystyle c = 3 \), а по Viète:
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}. \]
Используем формулу для суммы квадратов:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2. \]
Подставим известные значения:
\[ (1)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1 - 3 = -2. \]
Ответ:
\[
\boxed{-2}
\]
11. Найти сумму квадратов всех корней уравнения:
\[x^2 - 4x - 5 = 8.\]
Решение:
- Перепишем уравнение, приведя его к стандартной форме:
\[ x^2 - 4x - 5 = 8 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 13 = 0. \]
- Найдем сумму и произведение корней:
- по формуле Виета:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4, \]
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-13}{1} = -13. \]
- Сумма квадратов корней:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2. \]
- Подставим значения:
\[ 4^2 - 2 \times (-13) = 16 + 26 = 42. \]
Ответ:
\[
\boxed{42}
\]
12. Происходит изменение цены на холодильник:
- В начале лета цена увеличилась на \( x \)%.
- В конце зимы цена уменьшилась на \( x \)% (то есть на то же число процентов).
- Итог: цена стала на 9% дешевле, чем в конце весны (после увеличения).
Нужно найти, на сколько процентов увеличилась цена в начале лета (\( x \)).
Обозначения:
- Пусть начальная цена — \( P \).
Шаги решения:
- После увеличения на \( x \)% цена станет:
\[ P_1 = P \times \left(1 + \frac{x}{100}\right). \]
- После уменьшения на \( x \)% цена станет:
\[ P_2 = P_1 \times \left(1 - \frac{x}{100}\right). \]
- По условию, итоговая цена стала на 9% дешевле начальной:
\[ P_2 = P \times (1 - 0.09) = 0.91 P. \]
- Запишем уравнение:
\[ P \times \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.91 P. \]
- Сократим \( P \):
\[ \left(1 + \frac{x}{100}\right) \times \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.91. \]
- Раскроем скобки:
\[ 1 - \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.91. \]
- Решим для \( x \):
\[ 1 - \frac{x^2}{10 000} = 0.91, \] \[ \frac{x^2}{10 000} = 1 - 0.91 = 0.09, \] \[ x^2 = 0.09 \times 10 000 = 900, \] \[ x = \pm \sqrt{900} = \pm 30. \]
Поскольку увеличение цены обозначает положительное число, берем:
\[ x = 30\%. \]
Ответ:
\[
\boxed{30\%}
\]
Если хотите, я могу помочь дополнительно или объяснить что-то подробнее!
