Давайте шаг за шагом решим задачу, учитывая, что она — для 7 класса по геометрии, и цель — понять решение.
Дано:
- У прямоугольного треугольника один из острых углов равен 60°;
- сумма меньшего катета и гипотенузы равна 18 см;
- требуется найти длину меньшего катета;
- второй острый угол равен длине меньшего катета (это, скорее всего, опечатка, и, возможно, имелось в виду, что длина второго острого угла равна длине меньшего катета, но физически такого не бывает, так что сосредоточимся на более вероятной интерпретации — найти меньший катет).
Шаг 1: обозначим переменные
Обозначим:
- ( a ) — длина меньшего катета,
- ( b ) — длина другого катета,
- ( c ) — длина гипотенузы.
Так как один из острых углов равен 60°, значит, в треугольнике есть угол 60°, а прямой — 90°, оставшийся угол: ( 30° ).
Это важный момент: В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, и если один из них 60°, то другой 30°.**
Шаг 2: использовать свойства треугольника
В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°:
- Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы: ( a = \frac{c}{2} ),
- Катет, противолежащий углу 60°, равен ( a \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} c ).
Обозначим:
- ( a ) — меньший катет (против 30°),
- тогда, ( b = a \sqrt{3} ) — другой катет.
Шаг 3: используем условие суммы
По условию, сумма меньшего катета и гипотенузы равна 18 см:
[
a + c = 18
]
Здесь, поскольку ( a = \frac{c}{2} ), получаем:
[
\frac{c}{2} + c = 18
]
или
[
\frac{c}{2} + \frac{2c}{2} = 18
]
[
\frac{3c}{2} = 18
]
Отсюда:
[
c = \frac{18 \times 2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \text{ см}
]
Шаг 4: найти меньший катет
Используя ( a = \frac{c}{2} ):
[
a = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}
]
Ответ:
Меньший катет равен 6 см.
Итог:
- Меньший катет ( a = 6 ) см,
- гипотенуза ( c = 12 ) см,
- другой катет ( b = a \sqrt{3} = 6 \times \sqrt{3} \approx 10,39 ) см.
Если нужно, я могу дополнительно показать, как найти длину другого катета или проверить решение.
