Для решения этой задачи нужно понять, сколько обменов книгами произойдет, чтобы каждый участник мог обменяться книгой со всеми остальными участниками клуба по одной разу.
Обозначим количество участников как ( n = 15 ).
Каждый участник должен обменяться книгой с каждым из остальных участников. Тогда для каждого участника количество обменов равно ( n - 1 ).
Однако при подсчёте общего количества обменов напрямую учитывается, что обмен — это обмен в паре, и каждое такое взаимодействие происходит один раз. Поэтому нам нужно определить количество уникальных пар участников.
Количество пар, которое можно сформировать из 15 человек, рассчитывается по формуле комбинаторики:
[
\text{Количество пар} = \binom{n}{2} = \frac{n \times (n - 1)}{2}
]
Подставляем ( n = 15 ):
[
\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = \frac{210}{2} = 105
]
Итак, потребуется 105 книг, чтобы каждый участник мог обменяться книгой с каждым другим участником по одну книгу.
Ответ: 105 книг.
