В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С, биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Чему равен угол АОВ?

Давайте разберём задачу пошагово.

Дано:

• В треугольнике \( ABC \) — прямой угол при точке \( C \), то есть \( \angle C = 90^\circ \).
• \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — биссектрисы углов \( A \) и \( B \) соответственно.
• Эти биссектрисы пересекаются в точке \( O \).

Цель: найти угол \( \angle AOB \).

1. Общие сведения

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\):

• \( \angle C = 90^\circ \),
• \( \angle A \) и \( \angle B \) — острые, и \( \angle A + \angle B = 90^\circ \).

Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) — это линии, делящие эти углы пополам:

• \( AA_1 \) — биссектриса угла \( A \),
• \( BB_1 \) — биссектриса угла \( B \).

2. Какие свойства биссектрис?

• В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам:

  \[ \frac{A_1 C}{A_1 B} = \frac{AC}{AB}, \quad \frac{B_1 C}{B_1 A} = \frac{BC}{AB}. \]

• Важное свойство для данной задачи — биссектрисы внутренне пересекаются в точке \( O \).

3. Положение точки \( O \) — точка пересечения биссектрис

• Отсюда следует, что \( O \) — это так называемая точка «инцентра» треугольника, которая является точкой пересечения биссектрис всех углов.

• В прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \):

  • Инцентр \( O \) находится внутри треугольника, и его расположение связано со сторонами и углами.

  • Инцентр всегда находится на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности, от всех сторон.

4. Формирование угла \( \angle AOB \)

• Точка \( O \) — инцентр, точка пересечения биссектрис.
• Нам нужно найти \( \angle AOB \).

Ключевой факт:
В любом треугольнике, если провести биссектрисы из вершин \( A \) и \( B \), то угол между ними (то есть \( \angle AOB \)) равен половине суммы углов при вершинах \( A \) и \( B \).

5. Почему так?

• Внутри треугольника, биссектрисы точкой \( O \) делят угол пополам.
• Центр вписанной окружности \( O \) лежит внутри треугольника и образует определённые углы с вершинами.

По свойству, угол между биссектрисами \( AA_1 \) и \( BB_1 \), исходящими из вершин \( A \) и \( B \), равен:

\[ \boxed{ \angle AOB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}. } \]

Это классический результат для прямоугольных треугольников.

6. Итог

Так как в данном случае \( \angle C = 90^\circ \),

\[ \boxed{ \angle AOB = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ. } \]

Ответ:

Угол \( \angle AOB \) равен ( \boxed{135^\circ}.