В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С, биссектрисы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Чему равен угол АОВ?

Давайте разберём задачу пошагово. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) — прямой угол при точке \( C \), то есть \( \angle C = 90^\circ \). - \( AA_1 \) и \( BB_1 \) — биссектрисы углов \( A \) и \( B \) соответственно. - Эти биссектрисы пересекаются в точке \( O \). **Цель:** найти угол \( \angle AOB \). --- ### 1. Общие сведения В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\): - \( \angle C = 90^\circ \), - \( \angle A \) и \( \angle B \) — острые, и \( \angle A + \angle B = 90^\circ \). Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) — это линии, делящие эти углы пополам: - \( AA_1 \) — биссектриса угла \( A \), - \( BB_1 \) — биссектриса угла \( B \). --- ### 2. Какие свойства биссектрис? - В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам: \[ \frac{A_1 C}{A_1 B} = \frac{AC}{AB}, \quad \frac{B_1 C}{B_1 A} = \frac{BC}{AB}. \] - Важное свойство для данной задачи — биссектрисы внутренне пересекаются в точке \( O \). --- ### 3. Положение точки \( O \) — точка пересечения биссектрис - Отсюда следует, что \( O \) — это так называемая точка «инцентра» треугольника, которая является точкой пересечения биссектрис всех углов. - В прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle C = 90^\circ \): - Инцентр \( O \) находится внутри треугольника, и его расположение связано со сторонами и углами. - Инцентр всегда находится на расстоянии, равном радиусу вписанной окружности, от всех сторон. --- ### 4. Формирование угла \( \angle AOB \) - Точка \( O \) — инцентр, точка пересечения биссектрис. - Нам нужно найти \( \angle AOB \). **Ключевой факт:** В любом треугольнике, если провести биссектрисы из вершин \( A \) и \( B \), то угол между ними (то есть \( \angle AOB \)) равен половине суммы углов при вершинах \( A \) и \( B \). --- ### 5. Почему так? - Внутри треугольника, биссектрисы точкой \( O \) делят угол пополам. - Центр вписанной окружности \( O \) лежит внутри треугольника и образует определённые углы с вершинами. По свойству, угол между биссектрисами \( AA_1 \) и \( BB_1 \), исходящими из вершин \( A \) и \( B \), равен: \[ \boxed{ \angle AOB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}. } \] Это классический результат для прямоугольных треугольников. --- ### 6. Итог Так как в данном случае \( \angle C = 90^\circ \), \[ \boxed{ \angle AOB = 90^\circ + \frac{90^\circ}{2} = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ. } \] --- ## Ответ: **Угол \( \angle AOB \) равен \( \boxed{135^\circ}.**