Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 20, в ее боковые сторони равны 17. найдите площадь трапеции

Давайте подробно решим задачу о равнобедренной трапеции с заданными основанием, боковыми сторонами и найдем её площадь. **Дано:** - Нижнее основание \( AB = 20 \) - Верхнее основание \( CD = 4 \) - Боковые стороны \( AD = BC = 17 \) --- ### Шаг 1. Построение фигуры и введение обозначений Обозначим: - \( AB = 20 \) - \( CD = 4 \) Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны: \( AD = BC = 17 \). Пусть высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям, проведённый из точки \( C \) к прямой \( AB \). Обозначим высоту как \( h \). --- ### Шаг 2. Разбиение основания Аналогично, проведем перпендикуляр из вершины \( D \) к базе \( AB \). Пусть точки пересечения высот с базой \( AB \) — это точки \( M \) и \( N \): - \( M \) — проекция \( D \) на \( AB \) - \( N \) — проекция \( C \) на \( AB \) Поскольку трапеция равнобедренная, то её боковые стороны равны, и проекции \( M \) и \( N \) будут симметричными относительно центра основания. ### Шаг 3. Вычисление разницы проекций Обозначим: - длина основания \( AB = 20 \) - длина верхнего основания \( CD = 4 \) Меньшее основание находится внутри большего. Пусть каждым из боковых сегментов, перпендикулярных к основанию, соответствуют отрезки по \( x \) от центра основания до проекционных точек. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной разницы между основаниями: - разница между основаниями: \( 20 - 4 = 16 \) - полная разница по половинам составляет \( 8 \). Обозначим: - \( x \) — горизонтальный отрезок от центра основания до точки \( N \) (проекцию верхнего основания). --- ### Шаг 4. Находим высоту \( h \) Поскольку боковая сторона \( AD = 17 \), прямой треугольник \( ADM \) имеет: - катет \( h \) (высота) - катет \( x \) (горизонтальная разница) - гипотенуза \( AD = 17 \) Используем теорему Пифагора: \[ x^2 + h^2 = 17^2 = 289 \] Также, от центра основания до точки \( N \) по горизонтали: \[ x = \frac{16}{2} = 8 \] --- ### Шаг 5. Решение для высоты \( h \) Подставим \( x = 8 \) в уравнение: \[ 8^2 + h^2 = 289 \] \[ 64 + h^2 = 289 \] \[ h^2 = 289 - 64 = 225 \] \[ h = \sqrt{225} = 15 \] --- ### Шаг 6. Вычисляем площадь трапеции Площадь \( S \) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \] \[ S = \frac{(20 + 4)}{2} \times 15 \] \[ S = \frac{24}{2} \times 15 = 12 \times 15 = 180 \] --- ## Итог: **Площадь трапеции равна \(\boxed{180}\) квадратных единиц**. Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить какой-то шаг, пишите!