В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри…

Давайте разберём задачу поэтапно и подробно, чтобы понять все её аспекты.

Задача: В окружности радиуса 10 см проведён диаметр, на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Нужно найти радиус другой окружности, которая:

• касается диаметра в точке А;
• изнутри касается данной окружности радиуса 10 см.

---

Шаг 1. Вводные данные и условия

• Радиус исходной окружности: \( R = 10 \) см.
• Диаметр проведён через центр окружности.
• Точка А расположена на диаметре, на расстоянии 5 см от центра:
  \( \text{Расстояние от центра до } А = 5 \) см.

Обозначим:

• Центр исходной окружности: \( O \).
• Центр искомой окружности: \( C \).
• Радиус искомой окружности: \( r \).

---

Шаг 2. Анализ расположения точки А

Пусть \( O \) — центр первой окружности, тогда:

• \( A \) — точка на диаметре, расположенная на расстоянии 5 см от \( O \).
• Центр \( C \) искомой окружности должен быть такой, чтобы окружность с радиусом \( r \), касалась первой изнутри, и касалась диаметра в точке А.

Диаметр — это отрезок, проходящий через \( O \).
Без ограничения общности, возьмём его как ось \( x \), а \( O \) — координата \( 0 \).

Тогда:

• координаты точки \( A \): \( (5, 0) \).

---

Шаг 3. Положение искомой окружности

Параметры искомой окружности:

• Центр \( C \) имеет координаты \( (x_c, y_c) \).
• Радиус \( r \).

Она касается:

• диаметра в точке \( A \) — значит, \( A \) лежит на окружности \( C \) (или, точнее, \( A \) — точка касания).

Или, более корректно, — касательная к окружности в точке \( A \).

Но важная особенность: окружность с центром \( C \) касается диаметра в точке \( A \).
Это означает, что:

• \( A \) — точка касания: радиус \( r \) и вектор \( \overrightarrow{CA} \) ортогонален касательной линии.

Поскольку касательная — это линия, которая касается окружности в точке \( A \).

---

Шаг 4. Определение положения окружности по касанию

Рассматриваем окружность с центром \( C \), радиус \( r \), которая касается диаметра в точке \( A \).

Касание в точке \( A \) — значит, радиус \( r \) есть длина от \( C \) до \( A \):

\[ | \overrightarrow{CA} | = r \]

Но так как касание происходит именно в точке \( A \), то:

\[ | \vec{C}A | = r \]

и вектор \( \vec{CA} \) — вектор, соединяющий \( C \) и \( A \).

---

Шаг 5. Условие касания к диаметру

• Окружность с центром \( C = (x_c, y_c) \) касается диаметра (отрезка \( AB \), где \( A = (5, 0) \)) в точке \( A \).

• Поскольку касательная в точке \( A \) к окружности — перпендикуляр к радиусу \( \vec{CA} \).

Но диаметр — это ось x, значит, касательная к окружности — перпендикулярна радиусу в точке касания.

---

Шаг 6. Общие уравнения

Пусть:

• \( C = (x_c, y_c) \),
• \( A = (5, 0) \),
• расстояние \( | \overrightarrow{CA} | = r \).

Тогда:

\[ (x_c - 5)^2 + (y_c)^2 = r^2 \quad (1) \]

Также, касание окружности к диаметру в точке \( A \):

• радиус \( C \to A \) — вектор \( \vec{CA} \),
• касательная линия в точке \( A \) — перпендикулярна радиусу \( \vec{CA} \).

Поскольку диаметр — ось \( x \), касательная в точке \( A=(5, 0) \) имеет уравнение:

\[ y = 0 \]

и, как я понимаю, искомая окружность касается именно этой оси (так как она касается диаметра в точке \( A \), которая лежит на \( x=5 \)).

Следовательно, центр искомой окружности \( C \) лежит на линие, перпендикулярной диаметру \( AB \), и касание происходит ложа до \( A \).

---

Шаг 7. Положение центра окружности \( C \)

Поскольку касательная в точке \( A \) — горизонтальная, радиус \( \vec{CA} \) должен быть вертикальным или иметь направление, перпендикулярное касательной.

То есть:

• радиус \( C A \) перпендикулярен касательной в точке \( A \).
• касательная — горизонтальна (по \( y=0 \)) — следовательно, радиус \( C A \) перпендикулярен горизонтали (то есть — вертикальный).

Это означает, что главный радиус \( C A \) — вертикальный, а значит, центр \( C \) на вертикальной линии, проходящей через \( A \), т.е.:

\[ x_c = 5 \]

---

Шаг 8. Решение для \( C \)

Итак, имеем:

\[ x_c = 5 \]

и по уравнению (1):

\[ (5 - 5)^2 + y_c^2 = r^2 \]

\[ 0 + y_c^2 = r^2 \]

То есть:

\[ r = | y_c | \]

Теперь, чтобы найти \( r \), нужен ещё один условие: искомая окружность касается исходной изнутри.

---

Шаг 9. Условие касания внутри

• Расстояние между центрами: \( |OC| = d \).

• Окружность \( C \) касается исходной окружности радиуса 10 см изнутри.

• Тогда:

\[ d + r = R = 10 \]

где \( d \) — расстояние между \( O \) и \( C \).

Центр \( O \) — в точке \( (0,0) \).

Центр \( C \): \( (5, y_c) \).

Расстояние между ними:

\[ d = \sqrt{(5 - 0)^2 + y_c^2} = \sqrt{25 + y_c^2} \]

Тогда условие касания изнутри:

\[ d + r = 10 \]

Но мы знаем, что \( r = | y_c | \). Поэтому:

\[ \sqrt{25 + y_c^2} + | y_c | = 10 \]

Рассмотрим два варианта в случае положительного и отрицательного \( y_c \). Пусть \( y_c \ge 0 \):

\[ \sqrt{25 + y_c^2} + y_c = 10 \]

Обозначим \( y_c = t \ge 0 \), получим уравнение:

\[ \sqrt{25 + t^2} + t = 10 \]

---

Шаг 10. Решение уравнения

Выразим \( \sqrt{25 + t^2} \):

\[ \sqrt{25 + t^2} = 10 - t \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ 25 + t^2 = (10 - t)^2 = 100 - 20t + t^2 \]

Отсюда:

\[ 25 + t^2 = 100 - 20 t + t^2 \]

Упростим:

\[ 25 = 100 - 20 t \]

\[ 20 t = 100 - 25 = 75 \]

\[ t = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} = 3.75 \]

Поскольку \( y_c \ge 0 \), \( y_c = 3.75 \).

---

Шаг 11. Нахождение радиуса \( r \)

Ранее было:

\[ r = | y_c | = 3.75 \]

---

Ответ:

Радиус искомой окружности равен 3,75 см.

---

Если нужно, я могу пояснить любой из шагов подробнее.