В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Давайте разберём задачу поэтапно и подробно, чтобы понять все её аспекты. **Задача:** В окружности радиуса 10 см проведён диаметр, на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Нужно найти радиус другой окружности, которая: - касается диаметра в точке А; - изнутри касается данной окружности радиуса 10 см. --- ### Шаг 1. Вводные данные и условия - Радиус исходной окружности: \( R = 10 \) см. - Диаметр проведён через центр окружности. - Точка А расположена на диаметре, на расстоянии 5 см от центра: \( \text{Расстояние от центра до } А = 5 \) см. Обозначим: - Центр исходной окружности: \( O \). - Центр искомой окружности: \( C \). - Радиус искомой окружности: \( r \). --- ### Шаг 2. Анализ расположения точки А Пусть \( O \) — центр первой окружности, тогда: - \( A \) — точка на диаметре, расположенная на расстоянии 5 см от \( O \). - Центр \( C \) искомой окружности должен быть такой, чтобы окружность с радиусом \( r \), касалась первой изнутри, и касалась диаметра в точке А. Диаметр — это отрезок, проходящий через \( O \). Без ограничения общности, возьмём его как ось \( x \), а \( O \) — координата \( 0 \). Тогда: - координаты точки \( A \): \( (5, 0) \). --- ### Шаг 3. Положение искомой окружности Параметры искомой окружности: - Центр \( C \) имеет координаты \( (x_c, y_c) \). - Радиус \( r \). Она касается: - диаметра в точке \( A \) — значит, \( A \) лежит на окружности \( C \) (или, точнее, \( A \) — точка касания). Или, более корректно, — касательная к окружности в точке \( A \). Но важная особенность: окружность с центром \( C \) касается диаметра в точке \( A \). Это означает, что: - \( A \) — точка касания: радиус \( r \) и вектор \( \overrightarrow{CA} \) ортогонален касательной линии. Поскольку касательная — это линия, которая касается окружности в точке \( A \). --- ### Шаг 4. Определение положения окружности по касанию Рассматриваем окружность с центром \( C \), радиус \( r \), которая касается диаметра в точке \( A \). Касание в точке \( A \) — значит, радиус \( r \) есть длина от \( C \) до \( A \): \[ | \overrightarrow{CA} | = r \] Но так как касание происходит именно в точке \( A \), то: \[ | \vec{C}A | = r \] и вектор \( \vec{CA} \) — вектор, соединяющий \( C \) и \( A \). --- ### Шаг 5. Условие касания к диаметру - Окружность с центром \( C = (x_c, y_c) \) касается диаметра (отрезка \( AB \), где \( A = (5, 0) \)) в точке \( A \). - Поскольку касательная в точке \( A \) к окружности — перпендикуляр к радиусу \( \vec{CA} \). Но диаметр — это ось x, значит, касательная к окружности — перпендикулярна радиусу в точке касания. --- ### Шаг 6. Общие уравнения Пусть: - \( C = (x_c, y_c) \), - \( A = (5, 0) \), - расстояние \( | \overrightarrow{CA} | = r \). Тогда: \[ (x_c - 5)^2 + (y_c)^2 = r^2 \quad (1) \] Также, касание окружности к диаметру в точке \( A \): - радиус \( C \to A \) — вектор \( \vec{CA} \), - касательная линия в точке \( A \) — перпендикулярна радиусу \( \vec{CA} \). Поскольку диаметр — ось \( x \), касательная в точке \( A=(5, 0) \) имеет уравнение: \[ y = 0 \] и, как я понимаю, искомая окружность касается именно этой оси (так как она касается диаметра в точке \( A \), которая лежит на \( x=5 \)). Следовательно, центр искомой окружности \( C \) лежит на линие, перпендикулярной диаметру \( AB \), и касание происходит ложа до \( A \). --- ### Шаг 7. Положение центра окружности \( C \) Поскольку касательная в точке \( A \) — горизонтальная, радиус \( \vec{CA} \) должен быть вертикальным или иметь направление, перпендикулярное касательной. То есть: - радиус \( C A \) перпендикулярен касательной в точке \( A \). - касательная — горизонтальна (по \( y=0 \)) — следовательно, радиус \( C A \) перпендикулярен горизонтали (то есть — вертикальный). Это означает, что главный радиус \( C A \) — вертикальный, а значит, центр \( C \) на вертикальной линии, проходящей через \( A \), т.е.: \[ x_c = 5 \] --- ### Шаг 8. Решение для \( C \) Итак, имеем: \[ x_c = 5 \] и по уравнению (1): \[ (5 - 5)^2 + y_c^2 = r^2 \] \[ 0 + y_c^2 = r^2 \] То есть: \[ r = | y_c | \] Теперь, чтобы найти \( r \), нужен ещё один условие: искомая окружность касается исходной изнутри. --- ### Шаг 9. Условие касания внутри - Расстояние между центрами: \( |OC| = d \). - Окружность \( C \) касается исходной окружности радиуса 10 см изнутри. - Тогда: \[ d + r = R = 10 \] где \( d \) — расстояние между \( O \) и \( C \). Центр \( O \) — в точке \( (0,0) \). Центр \( C \): \( (5, y_c) \). Расстояние между ними: \[ d = \sqrt{(5 - 0)^2 + y_c^2} = \sqrt{25 + y_c^2} \] Тогда условие касания изнутри: \[ d + r = 10 \] Но мы знаем, что \( r = | y_c | \). Поэтому: \[ \sqrt{25 + y_c^2} + | y_c | = 10 \] Рассмотрим два варианта в случае положительного и отрицательного \( y_c \). Пусть \( y_c \ge 0 \): \[ \sqrt{25 + y_c^2} + y_c = 10 \] Обозначим \( y_c = t \ge 0 \), получим уравнение: \[ \sqrt{25 + t^2} + t = 10 \] --- ### Шаг 10. Решение уравнения Выразим \( \sqrt{25 + t^2} \): \[ \sqrt{25 + t^2} = 10 - t \] Возведём обе части в квадрат: \[ 25 + t^2 = (10 - t)^2 = 100 - 20t + t^2 \] Отсюда: \[ 25 + t^2 = 100 - 20 t + t^2 \] Упростим: \[ 25 = 100 - 20 t \] \[ 20 t = 100 - 25 = 75 \] \[ t = \frac{75}{20} = \frac{15}{4} = 3.75 \] Поскольку \( y_c \ge 0 \), \( y_c = 3.75 \). --- ### Шаг 11. Нахождение радиуса \( r \) Ранее было: \[ r = | y_c | = 3.75 \] --- ### **Ответ:** Радиус искомой окружности равен **3,75 см**. --- Если нужно, я могу пояснить любой из шагов подробнее.