Давайте решим задачу по физике, связанную с равноускоренным движением из покоя.
Дано:
- Тело движется равноускоренно из покоя (начальная скорость (v_0 = 0))
- За пятую секунду оно проходит путь (S_5 = 90,\text{см} = 0,9,\text{м})
Требуется:
- Определить путь (S_7), пройденный телом за седьмую секунду.
Шаг 1. Вспомним формулы равноускоренного движения из покоя
Общее уравнение пути за (n)-ю секунду:
[
S_n = v_{n-1} + \frac{a}{2}
]
где
- (v_{n-1}) — скорость тела в конце ((n-1))-й секунды,
- (a) — ускорение.
Путь, пройденный за (n)-ю секунду, выражается через скорости:
[
S_n = v_{n-1} + \frac{a}{2}
]
но для более точного расчёта лучше воспользоваться формулой пути за интервал времени:
[
S_{n} = s(t=n) - s(t=n-1),
]
где
[
s(t) = v_0 t + \frac{a t^2}{2}
]
При (v_0=0):
[
s(t) = \frac{a t^2}{2}
]
Тогда:
[
S_n = s(n) - s(n-1) = \frac{a n^2}{2} - \frac{a (n-1)^2}{2} = \frac{a}{2} \left(n^2 - (n-1)^2\right)
]
Рассчитаем как:
[
S_n = \frac{a}{2} \left(n^2 - (n^2 - 2n + 1)\right) = \frac{a}{2} (2n - 1)
]
Подставим для (n=5):
[
S_5 = \frac{a}{2} (2 \times 5 - 1) = \frac{a}{2} \times 9 = \frac{9a}{2}
]
Известно, что (S_5 = 0,9,м), значит:
[
\frac{9a}{2} = 0,9
]
[
a = \frac{0,9 \times 2}{9} = \frac{1,8}{9} = 0,2,\text{м/с}^2
]
Шаг 2. Найдём путь за 7-ю секунду (S_7)
Используя ту же формулу:
[
S_7 = \frac{a}{2} (2 \times 7 - 1) = \frac{a}{2} \times 13
]
Подставляем (a=0,2,\text{м/с}^2):
[
S_7 = \frac{0,2}{2} \times 13 = 0,1 \times 13 = 1,3,\text{м}
]
Ответ:
Путь, пройденный за седьмую секунду, равен 1,3 метра.
