Рассмотрим задачу, где у нас есть система из двух тонких линз, расположенных вплотную, и известно увеличение Г = 5, а расстояние от предмета до изображения l = 28 см. Требуется найти оптическую силу одной линзы.
Обозначения:
- ( G = 5 ) – увеличение системы.
- ( l = 28 ) см – расстояние от предмета до изображения.
- ( D1 ), ( D2 ) – оптическая сила первой и второй линз соответственно.
- ( f1 = \frac{100}{D1} ), ( f2 = \frac{100}{D2} ) – фокусные расстояния, связаны с оптическими силами.
Шаг 1. Анализ системы
Так как две линзы расположены вплотную, то их комбинированная оптическая система ведет себя как одна линза с эквивалентной оптической силой ( D_{эф} ).
Обозначим:
- ( S1 ) – объект, передний предмет.
- ( S2 ) – изображение системы.
Известно, что изображение является увеличенным и находится на расстоянии ( l = 28 ) см от предмета, значит, линза формирует изображение на расстоянии ( 28 ) см.
Шаг 2. Связь между увеличением и фокусным расстоянием
Общее увеличение системы:
[
G = \frac{S_2}{S_1} = 5
]
При тонких линзах связь между объектным расстоянием ( d_o ), изображением ( d_i ), и увеличением:
[
G = \left| \frac{d_i}{d_o} \right|
]
Также:
[
d_i = G \times d_o
]
Из условия:
[
d_i - d_o = l = 28 \text{ см}
]
Подставим ( d_i = G \times d_o ):
[
G \times d_o - d_o = 28 \Rightarrow (G - 1) d_o = 28
]
[
d_o = \frac{28}{G - 1} = \frac{28}{5 - 1} = \frac{28}{4} = 7 \text{ см}
]
Тогда изображение находится на расстоянии:
[
d_i = G \times d_o = 5 \times 7 = 35 \text{ см}
]
Шаг 3. Использование уравнения линзы
Для первой линзы:
[
\frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_{o1}} + \frac{1}{d_{i1}}
]
Поскольку системы из двух линз, расположенных вплотную, то их эквивалентная сила:
[
D_{эф} = D_1 + D_2
]
Из уравнения линзы, для системы, работаем с ее эквивалентной фокусной длиной ( f_{эф} ):
[
\frac{1}{f_{эф}} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{7} + \frac{1}{35} = \frac{5}{35} + \frac{1}{35} = \frac{6}{35}
]
[
f_{эф} = \frac{35}{6} \approx 5.83 \text{ см}
]
Оптическая сила системы:
[
D_{эф} = \frac{100}{f_{эф}} \approx \frac{100}{5.83} \approx 17.15
]
Шаг 4. Расчет оптической силы каждой линзы
Если системы две линзы, то предполагая, что они обладают одинаковой силой (или близки), и расположены вплотную, мы можем найти приближенную силу одной линзы:
[
D_1 + D_2 = D_{эф} \approx 17
]
Если предположить, что обе линзы одинаковы:
[
D_1 = D_2 = \frac{D_{эф}}{2} \approx \frac{17}{2} \approx 8.5
]
Ответ округляем до целого:
[
\boxed{9}
]
Итог:
Оптическая сила одной линзы примерно равна 9 диоптриям.
