Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг. У нас есть равнобедренный треугольник с высотой равной 4 и основанием 6. Нужно найти радиус вписанной окружности (r).
Шаг 1. Обозначим обозначения
- ( h = 4 ) — высота треугольника.
- ( BC = 6 ) — основание треугольника (предположим, что (AB) и (AC) — равные стороны).
- ( r ) — радиус вписанной окружности, который нужно найти.
Обозначим вершину треугольника, противоположную основанию, как (A), а основания — (BC).
Шаг 2. Найдём половину основания
Поскольку треугольник равнобедренный и высота делит основание пополам:
[
BD = DC = \frac{6}{2} = 3
]
где точка (D) — точка пересечения высоты и основания.
Шаг 3. Определим длину боковой стороны (AB) (или (AC))
Используем прямоугольный треугольник (ABD):
- Катет (BD=3),
- Высота (AD=h=4),
- Гипотенуза (AB).
По Пифагорову теореме:
[
AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
]
Следовательно, стороны (AB = AC = 5).
Шаг 4. Находим периметр (P) и площадь (S)
Можно использовать основание и высоту:
[
S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12
]
Шаг 5. Формула радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольнике можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( p ) — полупериметр:
[
p = \frac{P}{2} = \frac{16}{2} = 8
]
Теперь подставим значения:
[
r = \frac{12}{8} = 1.5
]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен (\boxed{1.5}).
