Высота равнобедренного треугольника равна 4, основание равно 6.Найдите радиус вписанной окружности.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг. У нас есть равнобедренный треугольник с высотой равной 4 и основанием 6. Нужно найти радиус вписанной окружности \(r\).

Шаг 1. Обозначим обозначения

• \( h = 4 \) — высота треугольника.
• \( BC = 6 \) — основание треугольника (предположим, что \(AB\) и \(AC\) — равные стороны).
• \( r \) — радиус вписанной окружности, который нужно найти.

Обозначим вершину треугольника, противоположную основанию, как \(A\), а основания — \(BC\).

Шаг 2. Найдём половину основания

Поскольку треугольник равнобедренный и высота делит основание пополам: \[ BD = DC = \frac{6}{2} = 3 \] где точка \(D\) — точка пересечения высоты и основания.

Шаг 3. Определим длину боковой стороны \(AB\) (или \(AC\))

Используем прямоугольный треугольник \(ABD\):

• Катет \(BD=3\),
• Высота \(AD=h=4\),
• Гипотенуза \(AB\).

По Пифагорову теореме: \[ AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

Следовательно, стороны \(AB = AC = 5\).

Шаг 4. Находим периметр \(P\) и площадь \(S\)

• Периметр: \[ P = AB + AC + BC = 5 + 5 + 6 = 16 \]

• Площадь треугольника \(S\)

Можно использовать основание и высоту: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \]

Шаг 5. Формула радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольнике можно найти по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( p \) — полупериметр: \[ p = \frac{P}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

Теперь подставим значения: \[ r = \frac{12}{8} = 1.5 \]

Ответ:

Радиус вписанной окружности равен \(\boxed{1.5}\).