16-40x+25x²= дай ответ с решением
Давайте решим выражение \( 16 - 40x + 25x^2 \) шаг за шагом.
Постановка задачи
Это выражение — квадратное многочлен, поскольку есть член \( x^2 \), а также линейный (\( x \)) и свободный член.
Вы хотите упростить или факторизовать его, если это возможно.
Шаг 1: Запись многочлена
Запишем его в стандартном порядке — квадратный, линейный, свободный:
\[ 25x^2 - 40x + 16 \]
Шаг 2: Поиск метода решения
Эту задачу можно факторизовать, найти корни через дискриминант или привести к виду полного квадратного выражения. Поскольку перед \( x^2 \) стоит 25 (квадрат целого числа), попробуем факторизовать.
Шаг 3: Применение метода разложения на множители
Ищем разложение вида:
\[ ( ax + b )( cx + d ) = 25x^2 - 40x + 16 \]
где \( a \times c = 25 \), а \( b \times d = 16 \), и сумма \( a \times d + b \times c = -40 \).
Шаг 4: Подбор коэффициентов
- Рассмотрим возможные множители 25: \( 1 \times 25 \) или \( 5 \times 5 \).
- Множители 16: \( 1 \times 16 \), \( 2 \times 8 \), \( 4 \times 4 \).
Попробуем соединить это и найти такие \( a, c, b, d \), чтобы сумма их произведений дала —40.
Шаг 5: Попытка разложения
Пусть \( a = 5 \), \( c = 5 \). Тогда:
\[ (5x + b)(5x + d) = 25x^2 + 5b x + 5d x + bd \]
Итоговая сумма по x — \( 5b + 5d \), а свободный член — \( bd \).
Нам нужно:
\[ 5b + 5d = -40 \quad \Rightarrow \quad b + d = -8 \] и
\[ bd = 16 \]
Итак, ищем числа \( b \) и \( d \), где:
- \( b + d = -8 \)
- \( bd = 16 \)
Это уравнение квадратичной формы:
\[ b^2 + 8b + 16 = 0 \]
или
\[ b^2 + 8b + 16 = 0 \]
Решим его:
\[ b = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2} = \frac{-8 \pm 0}{2} = -4 \]
То есть, \( b = d = -4 \).
Проверка:
\[ b + d = -4 + (-4) = -8 \] \[ bd = (-4) \times (-4) = 16 \]
Все условия выполнены!
Ответ:
Многочлен можно факторизовать так:
\[ (5x - 4)(5x - 4) = (5x - 4)^2 \]
или
\[ 25x^2 - 40x + 16 = (5x - 4)^2 \]
Итог:
Ответ: \(\boxed{(5x - 4)^2}\)
Если есть желание, я могу объяснить подробнее, как найти этот разложение!
