Найдите наименьшее значение функции y=(441+x^2)/x-12 на отрезке [13; 22]

Давайте подробно решим задачу: найти наименьшее значение функции \[ y = \frac{441 + x^2}{x} - 12 \] на интервале \([13;\,22]\). --- ### Шаг 1: Упростим функцию Разделим числитель: \[ y = \frac{441}{x} + \frac{x^2}{x} - 12 = \frac{441}{x} + x - 12 \] Теперь функция записана в более удобном виде: \[ y = x + \frac{441}{x} - 12 \] --- ### Шаг 2: Найдём критические точки с помощью производной Для поиска минимумов и максимумов, возьмём производную функции \( y(x) \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{441}{x} - 12 \right) \] Производные по правилам: - \( \frac{d}{dx} x = 1 \) - \( \frac{d}{dx} \left( \frac{441}{x} \right) = - \frac{441}{x^2} \) - \( \frac{d}{dx} (-12) = 0 \) Итак: \[ y' = 1 - \frac{441}{x^2} \] --- ### Шаг 3: Находим критические точки Критические точки — там, где \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{441}{x^2} = 0 \] \[ \frac{441}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 441 \] \[ x = \pm 21 \] Так как рассматриваем интервал \([13; 22]\), положительное значение подходит — \( x = 21 \). --- ### Шаг 4: Исследуем поведение функции - На границах интервала: \( x = 13 \) и \( x = 22 \). - Внутри интервала — критическая точка \( x = 21 \). ### Шаг 5: Вычисляем значение функции в точках Проведём подстановки в исходную функцию: \[ y = x + \frac{441}{x} - 12 \] - В точке \( x = 13 \): \[ y(13) = 13 + \frac{441}{13} - 12 \] \[ \frac{441}{13} \approx 33.92 \] \[ y(13) \approx 13 + 33.92 - 12 = 34.92 \] - В точке \( x = 22 \): \[ y(22) = 22 + \frac{441}{22} - 12 \] \[ \frac{441}{22} = 20.05 \] \[ y(22) \approx 22 + 20.05 - 12 = 30.05 \] - В точке \( x = 21 \): \[ y(21) = 21 + \frac{441}{21} - 12 \] \[ \frac{441}{21} = 21 \] \[ y(21) = 21 + 21 - 12 = 30 \] --- ### **Ответ:** - В точке \( x = 13 \), значение \( y \approx 34.92 \). - В точке \( x = 22 \), значение \( y \approx 30.05 \). - В критической точке \( x = 21 \), значение \( y = 30 \). Самое маленькое значение функции на интервале — это **30**, которое достигается в точке \( x = 21 \). --- ## Итог: **Наименьшее значение функции на отрезке \([13, 22]\): \(\boxed{30}\).** оно достигается при \( x = 21 \).