Найдите наименьшее значение функции y=(441+x^2)/x-12 на отрезке [13; 22]
Давайте подробно решим задачу: найти наименьшее значение функции
\[ y = \frac{441 + x^2}{x} - 12 \]
на интервале \([13;\,22]\).
Шаг 1: Упростим функцию
Разделим числитель:
\[ y = \frac{441}{x} + \frac{x^2}{x} - 12 = \frac{441}{x} + x - 12 \]
Теперь функция записана в более удобном виде:
\[ y = x + \frac{441}{x} - 12 \]
Шаг 2: Найдём критические точки с помощью производной
Для поиска минимумов и максимумов, возьмём производную функции \( y(x) \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x + \frac{441}{x} - 12 \right) \]
Производные по правилам:
- \( \frac{d}{dx} x = 1 \)
- \( \frac{d}{dx} \left( \frac{441}{x} \right) = - \frac{441}{x^2} \)
- \( \frac{d}{dx} (-12) = 0 \)
Итак:
\[ y' = 1 - \frac{441}{x^2} \]
Шаг 3: Находим критические точки
Критические точки — там, где \( y' = 0 \):
\[ 1 - \frac{441}{x^2} = 0 \]
\[ \frac{441}{x^2} = 1 \]
\[ x^2 = 441 \]
\[ x = \pm 21 \]
Так как рассматриваем интервал \([13; 22]\), положительное значение подходит — \( x = 21 \).
Шаг 4: Исследуем поведение функции
- На границах интервала: \( x = 13 \) и \( x = 22 \).
- Внутри интервала — критическая точка \( x = 21 \).
Шаг 5: Вычисляем значение функции в точках
Проведём подстановки в исходную функцию:
\[ y = x + \frac{441}{x} - 12 \]
- В точке \( x = 13 \):
\[ y(13) = 13 + \frac{441}{13} - 12 \] \[ \frac{441}{13} \approx 33.92 \] \[ y(13) \approx 13 + 33.92 - 12 = 34.92 \]
- В точке \( x = 22 \):
\[ y(22) = 22 + \frac{441}{22} - 12 \] \[ \frac{441}{22} = 20.05 \] \[ y(22) \approx 22 + 20.05 - 12 = 30.05 \]
- В точке \( x = 21 \):
\[ y(21) = 21 + \frac{441}{21} - 12 \] \[ \frac{441}{21} = 21 \] \[ y(21) = 21 + 21 - 12 = 30 \]
Ответ:
- В точке \( x = 13 \), значение \( y \approx 34.92 \).
- В точке \( x = 22 \), значение \( y \approx 30.05 \).
- В критической точке \( x = 21 \), значение \( y = 30 \).
Самое маленькое значение функции на интервале — это 30, которое достигается в точке \( x = 21 \).
Итог:
Наименьшее значение функции на отрезке \([13, 22]\): \(\boxed{30}\). оно достигается при \( x = 21 \).
