Давайте решим задачу: найти значение производной функции ( y=14\sqrt{2x-3} ) в точке ( x_0=26 ).
Шаг 1: Запишем функцию и уточним её вид
Функция:
[
y = 14 \sqrt{2x - 3}
]
Это можно переписать как:
[
y = 14 (2x - 3)^{1/2}
]
Шаг 2: Найдём производную функции
Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Обозначим:
[
u = 2x - 3
]
Тогда:
[
y = 14 u^{1/2}
]
Производная по ( x ):
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx}
]
где:
[
\frac{du}{dx} = 2
]
Подставляем:
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot u^{-1/2} \cdot 2
]
Сократим:
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot u^{-1/2}
]
или:
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{\sqrt{u}}
]
Вернёмся к исходной переменной:
[
u = 2x - 3
]
Итак, производная:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{2x - 3}}
]
Шаг 3: Подставим значение ( x_0=26 )
Теперь найдём значение производной в точке ( x=26 ):
[
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=26} = \frac{14}{\sqrt{2 \cdot 26 - 3}}
]
Вычислим выражение под корнем:
[
2 \cdot 26 - 3 = 52 - 3 = 49
]
Следовательно:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{49}} = \frac{14}{7} = 2
]
Итог:
Значение производной функции ( y=14\sqrt{2x-3} ) в точке ( x=26 ) равно (\boxed{2}).
