Вычислите значение производной функции y=14√(2х-3) в точке x0 =26

Давайте решим задачу: найти значение производной функции \( y=14\sqrt{2x-3} \) в точке \( x_0=26 \).

Шаг 1: Запишем функцию и уточним её вид

Функция: \[ y = 14 \sqrt{2x - 3} \]

Это можно переписать как: \[ y = 14 (2x - 3)^{1/2} \]

Шаг 2: Найдём производную функции

Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Обозначим: \[ u = 2x - 3 \] Тогда: \[ y = 14 u^{1/2} \]

Производная по \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \]

где: \[ \frac{du}{dx} = 2 \]

Подставляем: \[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot u^{-1/2} \cdot 2 \]

Сократим: \[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot u^{-1/2} \]

или: \[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{\sqrt{u}} \]

Вернёмся к исходной переменной: \[ u = 2x - 3 \] Итак, производная: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{2x - 3}} \]

Шаг 3: Подставим значение \( x_0=26 \)

Теперь найдём значение производной в точке \( x=26 \):

\[ \frac{dy}{dx}\Big|_{x=26} = \frac{14}{\sqrt{2 \cdot 26 - 3}} \]

Вычислим выражение под корнем: \[ 2 \cdot 26 - 3 = 52 - 3 = 49 \]

Следовательно: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{49}} = \frac{14}{7} = 2 \]

Итог:

Значение производной функции \( y=14\sqrt{2x-3} \) в точке \( x=26 \) равно \(\boxed{2}\).