Найди сумму первых четырех членов геометрической прогрессии если b1=5 g=3

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг.

Итак, нам даны:

• Первый член прогрессии: \( b_1 = 5 \)
• Показатель геометрической прогрессии: \( g = 3 \)

Задача: найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии.

Шаг 1. Запись формулы для n-го члена геометрической прогрессии

Общий член прогрессии задается формулой: \[ b_n = b_1 \times g^{n - 1} \] где:

• \( b_1 \) — первый член,
• \( g \) — знаменатель прогрессии,
• \( n \) — номер члена.

Шаг 2. Найдём первые четыре члена прогрессии

• Первый член: \[ b_1 = 5 \]
• Второй член: \[ b_2 = 5 \times 3^{2 - 1} = 5 \times 3^{1} = 5 \times 3 = 15 \]
• Третий член: \[ b_3 = 5 \times 3^{3 - 1} = 5 \times 3^{2} = 5 \times 9 = 45 \]
• Четвертый член: \[ b_4 = 5 \times 3^{4 - 1} = 5 \times 3^{3} = 5 \times 27 = 135 \]

Шаг 3. Найдём сумму первых четырех членов

Чтобы посчитать сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии, используем формулу: \[ S_n = b_1 \times \frac{g^{n} - 1}{g - 1} \] где:

• \( n = 4 \),
• \( b_1 = 5 \),
• \( g = 3 \).

Подставляем значения: \[ S_4 = 5 \times \frac{3^{4} - 1}{3 - 1} \]

Рассчитаем: \[ 3^{4} = 81 \] Тогда: \[ S_4 = 5 \times \frac{81 - 1}{2} = 5 \times \frac{80}{2} = 5 \times 40 = 200 \]

Ответ:

Сумма первых четырёх членов прогрессии равна 200.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение какого-либо шага подробнее, пишите!