Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения - 3 км, затратив на весь путь 45 мия. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дана задача:
- Лодка прошла по течению (в сторону течения) 8 км
- Против течения — 3 км
- Общее время пути — 45 минут (заметим, что в условии указано "45 мия", предполагая, что это минуты)
- Скорость течения реки — 2 км/ч
Нам нужно найти собственную скорость лодки (без течения).
Шаг 1. Обозначения переменных:
- \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч)
- \( v_{т} = 2 \) км/ч — скорость течения реки
- Время по течению — \( t_1 \)
- Время против течения — \( t_2 \)
Шаг 2. Запишем уравнения для времен:
По течению (длина 8 км):
\[ t_1 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость по течению}} = \frac{8}{v + v_{т}} \]Против течения (длина 3 км):
\[ t_2 = \frac{3}{v - v_{т}} \]
Общее время:
\[
t_1 + t_2 = 45 \text{ минут} = \frac{45}{60} = 0{,}75 \text{ часа}
\]
Шаг 3. Запишем итоговое уравнение:
\[ \frac{8}{v + 2} + \frac{3}{v - 2} = 0,75 \]
Шаг 4. Решение уравнения:
Найдем общий знаменатель:
\[ ( v + 2 )( v - 2 ) = v^2 - 4 \]
Запишем левую часть с общим знаменателем:
\[ \frac{8(v - 2)}{(v + 2)(v - 2)} + \frac{3(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 0,75 \]
Объединяем:
\[ \frac{8(v - 2) + 3(v + 2)}{v^2 - 4} = 0,75 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ 8v - 16 + 3v + 6 = (8v + 3v) + (-16 + 6) = 11v - 10 \]
Итак,
\[ \frac{11v - 10}{v^2 - 4} = 0,75 \]
Шаг 5. Решение уравнения относительно \( v \):
Перемножим обе части на \( v^2 - 4 \):
\[ 11v - 10 = 0,75 (v^2 - 4) \]
Раскроем скобки:
\[ 11v - 10 = 0,75 v^2 - 3 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 0,75 v^2 - 11v + (-3 + 10) = 0 \]
Объединим:
\[ 0,75 v^2 - 11v + 7 = 0 \]
Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:
\[ 3 v^2 - 44 v + 28 = 0 \]
Шаг 6. Используем дискриминант для решения квадратичного уравнения:
Дискриминант — \( D \):
\[ D = (-44)^2 - 4 \times 3 \times 28 = 1936 - 4 \times 3 \times 28 \]
Вычислим:
\[ 4 \times 3 \times 28 = 4 \times 84 = 336 \]
Тогда:
\[ D = 1936 - 336 = 1600 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40 \]
Шаг 7. Находим корни:
\[ v = \frac{44 \pm 40}{2 \times 3} = \frac{44 \pm 40}{6} \]
Рассмотрим оба варианта:
\(\displaystyle v = \frac{44 + 40}{6} = \frac{84}{6} = 14\)
\(\displaystyle v = \frac{44 - 40}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,67\)
Поскольку собственная скорость лодки \( v \) не может быть меньше скорости течения (иначе лодка не сможет двигаться против течения) и логично в контексте задачи, должна быть достаточно большой.
Остается выбрать \( v = 14 \) км/ч.
Ответ:
Собственная скорость лодки — 14 км/ч.
Если нужны дополнительные пояснения или разбор, я готов помочь!
