Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения - 3 км, затратив на весь путь 45 мия. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап. **Дана задача:** - Лодка прошла по течению (в сторону течения) 8 км - Против течения — 3 км - Общее время пути — 45 минут (заметим, что в условии указано "45 мия", предполагая, что это минуты) - Скорость течения реки — 2 км/ч Нам нужно найти собственную скорость лодки (без течения). --- ### Шаг 1. Обозначения переменных: - \( v \) — собственная скорость лодки (км/ч) - \( v_{т} = 2 \) км/ч — скорость течения реки - Время по течению — \( t_1 \) - Время против течения — \( t_2 \) --- ### Шаг 2. Запишем уравнения для времен: - По течению (длина 8 км): \[ t_1 = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость по течению}} = \frac{8}{v + v_{т}} \] - Против течения (длина 3 км): \[ t_2 = \frac{3}{v - v_{т}} \] Общее время: \[ t_1 + t_2 = 45 \text{ минут} = \frac{45}{60} = 0{,}75 \text{ часа} \] --- ### Шаг 3. Запишем итоговое уравнение: \[ \frac{8}{v + 2} + \frac{3}{v - 2} = 0,75 \] --- ### Шаг 4. Решение уравнения: Найдем общий знаменатель: \[ ( v + 2 )( v - 2 ) = v^2 - 4 \] Запишем левую часть с общим знаменателем: \[ \frac{8(v - 2)}{(v + 2)(v - 2)} + \frac{3(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 0,75 \] Объединяем: \[ \frac{8(v - 2) + 3(v + 2)}{v^2 - 4} = 0,75 \] Раскроем скобки в числителе: \[ 8v - 16 + 3v + 6 = (8v + 3v) + (-16 + 6) = 11v - 10 \] Итак, \[ \frac{11v - 10}{v^2 - 4} = 0,75 \] --- ### Шаг 5. Решение уравнения относительно \( v \): Перемножим обе части на \( v^2 - 4 \): \[ 11v - 10 = 0,75 (v^2 - 4) \] Раскроем скобки: \[ 11v - 10 = 0,75 v^2 - 3 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 0,75 v^2 - 11v + (-3 + 10) = 0 \] Объединим: \[ 0,75 v^2 - 11v + 7 = 0 \] Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби: \[ 3 v^2 - 44 v + 28 = 0 \] --- ### Шаг 6. Используем дискриминант для решения квадратичного уравнения: Дискриминант — \( D \): \[ D = (-44)^2 - 4 \times 3 \times 28 = 1936 - 4 \times 3 \times 28 \] Вычислим: \[ 4 \times 3 \times 28 = 4 \times 84 = 336 \] Тогда: \[ D = 1936 - 336 = 1600 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40 \] --- ### Шаг 7. Находим корни: \[ v = \frac{44 \pm 40}{2 \times 3} = \frac{44 \pm 40}{6} \] Рассмотрим оба варианта: 1. \(\displaystyle v = \frac{44 + 40}{6} = \frac{84}{6} = 14\) 2. \(\displaystyle v = \frac{44 - 40}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,67\) Поскольку собственная скорость лодки \( v \) не может быть меньше скорости течения (иначе лодка не сможет двигаться против течения) и логично в контексте задачи, должна быть достаточно большой. Остается выбрать **\( v = 14 \) км/ч**. --- ### **Ответ:** **Собственная скорость лодки — 14 км/ч.** --- Если нужны дополнительные пояснения или разбор, я готов помочь!