Точка M середина хорды. BC, O - центр окружности. Найдите угол BMO, если угол BOC=146 градусов

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом найдем угол \( \angle BMO \). **Дано:** - \( M \) — середина хорды \( BC \) - \( O \) — центр окружности - \( \angle BOC = 146^\circ \) **Найти:** \( \angle BMO \) --- ### Шаг 1. Анализ исходных данных - Центр окружности \( O \) и хорда \( BC \) - \( M \) — середина хорды, значит, \( M \) — точка, делящая хорду пополам: \( BM = MC \) - Угол \( \angle BOC = 146^\circ \), где \( B \) и \( C \) — точки на окружности, \( O \) — центр ### Шаг 2. Свойства радиусов и центра - \( OB \) и \( OC \) — радиусы окружности - Треугольник \( BOC \) — равнобедренный, так как \( OB = OC \) ### Шаг 3. Свойство углов при центральном и вписанном углах - Угол \( \angle BOC \) — центральный угол, он опирается на дугу \( BC \). - Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \( BC \), равен половине центрального: \[ \angle B \text{ или } \angle C = \frac{1}{2} \widehat{BC} \] Итак, дуга \( BC \): \[ \widehat{BC} = 2 \times \angle BOC = 2 \times 146^\circ = 292^\circ \] Но поскольку вся окружность — 360°, дуга, противоположная этой, — \( 360^\circ - 292^\circ = 68^\circ \). Это важное замечание: дуга \( BC \) — большая, так как она составляет 292°. --- ### Шаг 4. Рассмотрение точки \( M \), середина хорды Поскольку \( M \) — середина хорды \( BC \), то точка \( M \) является точкой деления хорды на равные части. Также важное свойство: - Если \( M \) — середина хорды, то \( OM \) — перпендикуляр к хорде \( BC \) в точке \( M \). Это потому, что радиусы, проведённые в середину хорды, перпендикулярны этой хорде. ### Шаг 5. Рассмотрение треугольника \( OMB \) - \( OB \) — радиус - \( OM \) — перпендикуляр к хорде \( BC \) в точке \( M \) - \( B \), \( M \), \( O \) — точки треугольника Нам нужно найти \( \angle BMO \). Обратим внимание, что этот угол — это угол между радиусом \( OB \) и отрезком \( OM \). --- ### Шаг 6. Важное свойство: угол между радиусом и перпендикуляром к хорде Поскольку \( OM \) — перпендикуляр к хорде \( BC \) в точке \( M \), а \( O \) — центр окружности, то: - \( OM \perp BC \) - \( OB \) — радиус, исходящий из центра \( O \) к точке \( B \) Треугольник \( OMB \): - \( OB \) — радиус - \( OM \) — высота, проведённая к хорде \( BC \) --- ### Шаг 7. Использование дуги и углового свойства Обозначим: - \( \widehat{BC} = 292^\circ \), дуга, на которую опирается центральный угол \( \angle BOC \). Поскольку \( M \) — середина хорды, и \( OM \perp BC \), треугольник \( O M B \) равнобедренный (так как \( O B \) — радиус), и \( M \) лежит на медиане, проведённой к \( BC \). --- ### Шаг 8. Определение угла \( \angle BMO \) Поскольку \( OM \) — перпендикуляр к \( BC \), тогда: - \( \angle B M O \) — это угол между радиусом \( OB \) и перпендикуляром \( OM \). Поскольку \( OM \perp BC \), и \( M \) — середина хорды, при этом \( OM \) — перпендикуляр, можно заключить, что: \[ \angle B M O = 90^\circ - \frac{\angle BOC}{2} \] Это связано с тем, что вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \), равен половине центрального, и при делении дуги пополам, мы получаем соответствующие углы. Но для точного вычисления давайте конкретнее: - Угол \( \angle BOC = 146^\circ \) - Медиана от \( O \) к хорде \( BC \) делит дугу \( BC \) на два равных сегмента, каждый по \( 73^\circ \) Следовательно: \[ \angle B O M = 90^\circ - 73^\circ = 17^\circ \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \angle B M O = 17^\circ } \] --- Если нужны дополнительные объяснения, я с радостью помогу!