Игральную кость бросают дважды является ли независимым события М на второй кости выпало больше двух очков и N сумма очков равна семи ответ объясните
Давайте подробно разберем задачу:
Условие:
- Бросают две игральные кости по очереди.
- Рассматриваются два события:
- М: на второй кости выпало больше двух очков (то есть 3, 4, 5 или 6).
- N: сумма очков по обоим броскам равна семи.
Вам нужно определить, являются ли эти два события независимыми.
Что такое независимость событий?
Два события A и B считаются независимыми, если вероятность их совместного возникновения равна произведению вероятностей каждого из них отдельно:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
Шаг 1: Определим вероятность события М
М: на второй кости выпало больше двух очков (3-6).
Общее число возможных исходов при броске одной кости – 6.
- Благоприятные исходы для М: 3, 4, 5, 6 — всего 4 варианта.
- Значит, вероятность М:
\[ P(M) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Шаг 2: Определим вероятность события N
N: сумма очков по двум костям равна семи.
Возможные пары, дающие сумму 7:
| Первая кость | Вторая кость | Сумма |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 5 | 7 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 3 | 7 |
| 5 | 2 | 7 |
| 6 | 1 | 7 |
Всего 6 исходов.
Общее число всех исходов при двух бросках: 6 × 6 = 36.
- Вероятность события N:
\[ P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Шаг 3: Определим вероятность совместного события \( P(M \cap N) \)
Это вероятность того, что на второй кости выпадет больше двух очков и сумма равна семи.
Рассмотрим каждую пару из таблицы, где сумма равна 7, и посмотрим на значение второй кости:
- (1, 6): вторая кость — 6 → больше двух? Да.
- (2, 5): вторая — 5 → больше двух? Да.
- (3, 4): вторая — 4 → больше двух? Да.
- (4, 3): вторая — 3 → больше двух? Да.
- (5, 2): вторая — 2 → меньше двух? Нет.
- (6, 1): вторая — 1 → меньше двух? Нет.
Благоприятные исходы для \( M \cap N \): (1,6), (2,5), (3,4), (4,3).
Всего 4 исхода.
- Вероятность \( P(M \cap N) \):
\[ P(M \cap N) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]
Шаг 4: Проверим независимость
Рассчитаем правую часть: \( P(M) \times P(N) \):
\[ P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]
Теперь сравним с \( P(M \cap N) \):
\[ P(M \cap N) = \frac{1}{9} \]
Они равны.
Итог:
Так как:
\[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N), \]
следовательно, события М и N — — независимы.
Ответ:
Да, события «на второй кости выпало больше двух очков» и «сумма очков равна семи» являются независимыми.
