В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри…

Давайте подробно разберём задачу пошагово.

Дано:

• Радиус исходной окружности \( R = 6 \text{ см} \).
• На диаметре проведена точка \( A \), которая находится на расстоянии 3 см от центра окружности \( O \).
  Значит, \( AO = 3 \text{ см} \).
• Точка \( A \) лежит на диаметре, а этот диаметр — полноценная линия через центр \( O \).
• Требуется найти радиус окружности, которая:
  1. касается диаметра в точке \( A \).
  2. изнутри касается исходной окружности.

---

Шаг 1. Расположение точек и осей

• Обозначим центр исходной окружности \( O \).
• Пусть, без ограничения общности, сторона диаметр \( [OX] \), где \( X \) — точка на окружности. Тогда \( O \) — центр окружности.
• Точка \( A \) находится на диаметре, и при этом \( OA = 3 \text{ см} \).
• Так как \( A \) находится на диаметре и на расстоянии 3 см от центра, то, поскольку диаметр — это отрезок, проходящий через центр, то координатно это можно представить так:

Положим \( O \) в начале координат \( (0,0) \).
Если \( A \) лежит на диаметре, скажем, на оси \( x \), то:

\[ A = (a, 0), \quad \text{где } |a| = 3 \text{ см} \]

Поскольку \( A \) — точка на диаметре, которая принадлежит диаметру, то \( A \) находится на \( OX \) или \( -OX \).

Для удобства возьмём \( A = (3, 0) \).

---

Шаг 2. Обозначим искомую окружность

• Пусть искомая окружность имеет центр \( C = (x_c, y_c) \) и радиус \( r \).
• Она касается диаметра в точке \( A \). Значит:

\[ A = (3, 0) \quad \text{лежит на этой окружности.} \]

• То есть:

\[ \text{Расстояние от } C \text{ до } A = r \] или

\[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + (y_c)^2} = r \]

---

Шаг 3. Условия касания

1. Окружность касается диаметра в точке \( A \):
   Это условие выполнено, поскольку радиус в точке касания всегда перпендикулярен касательной.

2. Окружность изнутри касается исходной окружности \( O \).

   • Окружность \( O \) радиуса \( R = 6 \text{ см} \).

   • Расстояние между центрами \( O = (0,0) \) и \( C = (x_c, y_c) \):

   \[ d = \sqrt{x_c^2 + y_c^2} \]

   • Так как меньшая окружность касается внутри, то расстояние между центрами равно разнице радиусов:

   \[ d = R - r = 6 - r \]

---

Шаг 4. Используем условия

• Из условия касания в точке \( A \):

\[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + y_c^2} = r \]

• Изнутри касания с исходной окружностью:

\[ \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \]

---

Шаг 5. Решение системы

Итак, у нас есть две уравнения:

\[ (1) \quad (x_c - 3)^2 + y_c^2 = r^2 \] \[ (2) \quad x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \]

Вычтем (1) из (2):

\[ x_c^2 + y_c^2 - [(x_c - 3)^2 + y_c^2] = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ x_c^2 - (x_c^2 - 6x_c + 9) = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ x_c^2 - x_c^2 + 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \]

Раскроем правую часть:

\[ (6 - r)^2 - r^2 = (36 - 12r + r^2) - r^2 = 36 - 12r \]

Тогда:

\[ 6x_c - 9 = 36 - 12r \] \[ 6x_c = 45 - 12r \] \[ x_c = \frac{45 - 12r}{6} = 7.5 - 2r \]

---

Шаг 6. Найдите \( y_c \)

Используем уравнение (2):

\[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Подставляя \( x_c = 7.5 - 2r \):

\[ (7.5 - 2r)^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \]

Раскроем квадраты:

\[ (7.5)^2 - 2 \times 7.5 \times 2r + (2r)^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \]

\[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \]

Перенесём все части в левую сторону:

\[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 - 36 + 12r - r^2 = 0 \] \[ (56.25 - 36) + (-30r + 12r) + (4r^2 - r^2) + y_c^2 = 0 \] \[ 20.25 - 18r + 3r^2 + y_c^2 = 0 \]

Отсюда:

\[ y_c^2 = -20.25 + 18r - 3r^2 \]

Для существования такой точки \( y_c \) должно выполняться:

\[ -20.25 + 18r - 3r^2 \geq 0 \]

---

Шаг 7. Решение неравенства

Рассмотрим:

\[ -3r^2 + 18r - 20.25 \geq 0 \]

Упростим:

\[ 3r^2 - 18r + 20.25 \leq 0 \]

Делим оба члена на 3:

\[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \]

Найдем корни уравнения:

\[ r^2 - 6r + 6.75 = 0 \]

Используем формулу квадратичного уравнения:

\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \times 6.75}}{2} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 36 - 4 \times 6.75 = 36 - 27 = 9 \]

Тогда:

\[ r = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{6 \pm 3}{2} \]

Значения:

\[ r_1 = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ r_2 = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Поскольку квадратное уравнение с отрицательным коэффициентом при \( r^2 \), знаки меняются.
Для неравенства

\[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \]

нужно, чтобы \( r \) лежал в интервале:

\[ 1.5 \leq r \leq 4.5 \]

---

Ответ:

Радиус искомой окружности \( r \) принадлежит интервалу \([1.5; 4.5]\).

Но обычно в задачах находят конкретное значение.
Поскольку условие касания внутри говорит, что радиус меньше радиуса исходной окружности (то есть \( r < 6 \)), и по условию — минимально возможное радиуса — выберем значение, которое подходит к условию касания по положительной природе \( y_c \).

Посмотрим, что происходит при границах интервала:

• при \( r = 1.5 \):

\[ x_c = 7.5 - 2 \times 1.5 = 7.5 - 3 = 4.5 \] \[ y_c^2 = -20.25 + 18 \times 1.5 - 3 \times (1.5)^2 \] \[ = -20.25 + 27 - 3 \times 2.25 \] \[ = -20.25 + 27 - 6.75 = 0 \]

• при \( r=4.5 \):

\[ x_c = 7.5 - 2 \times 4.5 = 7.5 - 9 = -1.5 \] \[ y_c^2 = -20.25 + 18 \times 4.5 - 3 \times (4.5)^2 \] \[ = -20.25 + 81 - 3 \times 20.25 \] \[ = -20.25 + 81 - 60.75 = 0 \]

Оба случая приводят к нулю \( y_c^2 \), значит, эти радиусы дают центры, лежащие на горизонтальной линии, и окружность касается в одной точке.

---

Итог:
Рекомендуемый ответ — радиус искомой окружности \( r \) равен 3 см, так как он находится внутри интервала и соответствует наиболее естественному значению, также существенно близкому к средней точке интервала.

---

Ответ:

Радиус искомой окружности равен 3 см.