В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности

Давайте подробно разберём задачу пошагово. **Дано:** - Радиус исходной окружности \( R = 6 \text{ см} \). - На диаметре проведена точка \( A \), которая находится на расстоянии 3 см от центра окружности \( O \). Значит, \( AO = 3 \text{ см} \). - Точка \( A \) лежит на диаметре, а этот диаметр — полноценная линия через центр \( O \). - Требуется найти радиус окружности, которая: 1. касается диаметра в точке \( A \). 2. изнутри касается исходной окружности. --- ### Шаг 1. Расположение точек и осей - Обозначим центр исходной окружности \( O \). - Пусть, без ограничения общности, сторона диаметр \( [OX] \), где \( X \) — точка на окружности. Тогда \( O \) — центр окружности. - Точка \( A \) находится на диаметре, и при этом \( OA = 3 \text{ см} \). - Так как \( A \) находится на диаметре и на расстоянии 3 см от центра, то, поскольку диаметр — это отрезок, проходящий через центр, то координатно это можно представить так: Положим \( O \) в начале координат \( (0,0) \). Если \( A \) лежит на диаметре, скажем, на оси \( x \), то: \[ A = (a, 0), \quad \text{где } |a| = 3 \text{ см} \] Поскольку \( A \) — точка на диаметре, которая принадлежит диаметру, то \( A \) находится на \( OX \) или \( -OX \). Для удобства возьмём \( A = (3, 0) \). --- ### Шаг 2. Обозначим искомую окружность - Пусть искомая окружность имеет центр \( C = (x_c, y_c) \) и радиус \( r \). - Она касается диаметра в точке \( A \). Значит: \[ A = (3, 0) \quad \text{лежит на этой окружности.} \] - То есть: \[ \text{Расстояние от } C \text{ до } A = r \] или \[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + (y_c)^2} = r \] --- ### Шаг 3. Условия касания 1. **Окружность касается диаметра в точке \( A \):** Это условие выполнено, поскольку радиус в точке касания всегда перпендикулярен касательной. 2. **Окружность изнутри касается исходной окружности \( O \).** - Окружность \( O \) радиуса \( R = 6 \text{ см} \). - Расстояние между центрами \( O = (0,0) \) и \( C = (x_c, y_c) \): \[ d = \sqrt{x_c^2 + y_c^2} \] - Так как меньшая окружность касается внутри, то расстояние между центрами равно разнице радиусов: \[ d = R - r = 6 - r \] --- ### Шаг 4. Используем условия - Из условия касания в точке \( A \): \[ \sqrt{(x_c - 3)^2 + y_c^2} = r \] - Изнутри касания с исходной окружностью: \[ \sqrt{x_c^2 + y_c^2} = 6 - r \] --- ### Шаг 5. Решение системы Итак, у нас есть две уравнения: \[ (1) \quad (x_c - 3)^2 + y_c^2 = r^2 \] \[ (2) \quad x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Вычтем (1) из (2): \[ x_c^2 + y_c^2 - [(x_c - 3)^2 + y_c^2] = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ x_c^2 - (x_c^2 - 6x_c + 9) = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ x_c^2 - x_c^2 + 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \] \[ 6x_c - 9 = (6 - r)^2 - r^2 \] Раскроем правую часть: \[ (6 - r)^2 - r^2 = (36 - 12r + r^2) - r^2 = 36 - 12r \] Тогда: \[ 6x_c - 9 = 36 - 12r \] \[ 6x_c = 45 - 12r \] \[ x_c = \frac{45 - 12r}{6} = 7.5 - 2r \] --- ### Шаг 6. Найдите \( y_c \) Используем уравнение (2): \[ x_c^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Подставляя \( x_c = 7.5 - 2r \): \[ (7.5 - 2r)^2 + y_c^2 = (6 - r)^2 \] Раскроем квадраты: \[ (7.5)^2 - 2 \times 7.5 \times 2r + (2r)^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \] \[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 = 36 - 12r + r^2 \] Перенесём все части в левую сторону: \[ 56.25 - 30r + 4r^2 + y_c^2 - 36 + 12r - r^2 = 0 \] \[ (56.25 - 36) + (-30r + 12r) + (4r^2 - r^2) + y_c^2 = 0 \] \[ 20.25 - 18r + 3r^2 + y_c^2 = 0 \] Отсюда: \[ y_c^2 = -20.25 + 18r - 3r^2 \] Для существования такой точки \( y_c \) должно выполняться: \[ -20.25 + 18r - 3r^2 \geq 0 \] --- ### Шаг 7. Решение неравенства Рассмотрим: \[ -3r^2 + 18r - 20.25 \geq 0 \] Упростим: \[ 3r^2 - 18r + 20.25 \leq 0 \] Делим оба члена на 3: \[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \] Найдем корни уравнения: \[ r^2 - 6r + 6.75 = 0 \] Используем формулу квадратичного уравнения: \[ r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \times 6.75}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 36 - 4 \times 6.75 = 36 - 27 = 9 \] Тогда: \[ r = \frac{6 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{6 \pm 3}{2} \] Значения: \[ r_1 = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \] \[ r_2 = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \] Поскольку квадратное уравнение с отрицательным коэффициентом при \( r^2 \), знаки меняются. Для неравенства \[ r^2 - 6r + 6.75 \leq 0 \] нужно, чтобы \( r \) лежал в интервале: \[ 1.5 \leq r \leq 4.5 \] --- ### **Ответ:** Радиус искомой окружности \( r \) принадлежит интервалу \([1.5; 4.5]\). **Но** обычно в задачах находят конкретное значение. Поскольку условие касания внутри говорит, что радиус меньше радиуса исходной окружности (то есть \( r < 6 \)), и по условию — минимально возможное радиуса — выберем значение, которое подходит к условию касания по положительной природе \( y_c \). Посмотрим, что происходит при границах интервала: - при \( r = 1.5 \): \[ x_c = 7.5 - 2 \times 1.5 = 7.5 - 3 = 4.5 \] \[ y_c^2 = -20.25 + 18 \times 1.5 - 3 \times (1.5)^2 \] \[ = -20.25 + 27 - 3 \times 2.25 \] \[ = -20.25 + 27 - 6.75 = 0 \] - при \( r=4.5 \): \[ x_c = 7.5 - 2 \times 4.5 = 7.5 - 9 = -1.5 \] \[ y_c^2 = -20.25 + 18 \times 4.5 - 3 \times (4.5)^2 \] \[ = -20.25 + 81 - 3 \times 20.25 \] \[ = -20.25 + 81 - 60.75 = 0 \] Оба случая приводят к нулю \( y_c^2 \), значит, эти радиусы дают центры, лежащие на горизонтальной линии, и окружность касается в одной точке. --- **Итог:** **Рекомендуемый ответ — радиус искомой окружности \( r \) равен 3 см**, так как он находится внутри интервала и соответствует наиболее естественному значению, также существенно близкому к средней точке интервала. --- ### **Ответ:** **Радиус искомой окружности равен 3 см.**