Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если гипотенуза в сумме с опущенной на неё высотой составляет 24 см.

Давайте подробно разберёмся с этой задачей. **Дано:** - Равнобедренный прямоугольный треугольник. - Его гипотенуза и высота, опущенная на гипотенузу, в сумме дают 24 см. Обозначим: - гипотенузу как \( c \), - высоту, опущенную на гипотенузу, как \( h \). По условию: \[ c + h = 24 \quad (1) \] --- **Шаг 1: Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника** Так как треугольник равнобедренный и прямой, катеты равны: пусть они оба равны \( a \). Тогда, используя теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] **Значит:** \[ c = a\sqrt{2} \] --- **Шаг 2: Высота, опущенная на гипотенузу** Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, делит её пополам: \[ h = \frac{ab}{c} \] Но в нашем случае, поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, есть более точное выражение для высоты: В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, образует два меньших прямоугольных треугольника, подобные исходному. Можно найти высоту через катеты или гипотенузу. **Формула высоты:** \[ h = \frac{a \cdot a}{c} = \frac{a^2}{c} \] Это происходит потому, что высота к гипотенузе делит гипотенузу на две равные части (так как треугольник равнобедренный), и каждый из образованных меньших треугольников является прямоугольным и равнобедренным. --- **Шаг 3: Подставим \( c \) и \( h \) в уравнение (1)** У нас: \[ c + h = 24 \] Подставим \( c = a \sqrt{2} \) и \( h = \frac{a^2}{c} \): \[ a \sqrt{2} + \frac{a^2}{a \sqrt{2}} = 24 \] Упростим выражение: \[ a \sqrt{2} + \frac{a^2}{a \sqrt{2}} = a \sqrt{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} \] Каждое слагаемое делим и получает: \[ a \sqrt{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} \] Объединим в общее выражение: \[ a \sqrt{2} + a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = a \left( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] Найдем сумму в скобках: \[ \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \] Преобразуем сумму: \[ \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \] Тогда получаем: \[ a \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 24 \] Найдем \( a \): \[ a = \frac{24 \times 2}{3 \sqrt{2}} = \frac{48}{3 \sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} \] rationalize denominator: \[ a = \frac{16}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{2}}{2} = 8 \sqrt{2} \] --- **Шаг 4: Найдём гипотенузу \( c \)** \[ c = a\sqrt{2} = (8 \sqrt{2}) \times \sqrt{2} \] \[ c = 8 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8 \times 2 = 16 \] --- **Ответ:** **Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 16 см.** Если есть дополнительные вопросы по решению — задавайте!