Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если гипотенуза в сумме с опущенной на неё высотой составляет 24 см.
Давайте подробно разберёмся с этой задачей.
Дано:
- Равнобедренный прямоугольный треугольник.
- Его гипотенуза и высота, опущенная на гипотенузу, в сумме дают 24 см.
Обозначим:
- гипотенузу как \( c \),
- высоту, опущенную на гипотенузу, как \( h \).
По условию: \[ c + h = 24 \quad (1) \]
Шаг 1: Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника
Так как треугольник равнобедренный и прямой, катеты равны: пусть они оба равны \( a \).
Тогда, используя теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
Значит: \[ c = a\sqrt{2} \]
Шаг 2: Высота, опущенная на гипотенузу
Высота \( h \), опущенная на гипотенузу, делит её пополам:
\[ h = \frac{ab}{c} \]
Но в нашем случае, поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, есть более точное выражение для высоты:
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, образует два меньших прямоугольных треугольника, подобные исходному. Можно найти высоту через катеты или гипотенузу.
Формула высоты: \[ h = \frac{a \cdot a}{c} = \frac{a^2}{c} \]
Это происходит потому, что высота к гипотенузе делит гипотенузу на две равные части (так как треугольник равнобедренный), и каждый из образованных меньших треугольников является прямоугольным и равнобедренным.
Шаг 3: Подставим \( c \) и \( h \) в уравнение (1)
У нас: \[ c + h = 24 \]
Подставим \( c = a \sqrt{2} \) и \( h = \frac{a^2}{c} \):
\[ a \sqrt{2} + \frac{a^2}{a \sqrt{2}} = 24 \]
Упростим выражение:
\[ a \sqrt{2} + \frac{a^2}{a \sqrt{2}} = a \sqrt{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} \]
Каждое слагаемое делим и получает:
\[ a \sqrt{2} + \frac{a}{\sqrt{2}} \]
Объединим в общее выражение:
\[ a \sqrt{2} + a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = a \left( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \]
Найдем сумму в скобках:
\[ \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Преобразуем сумму:
\[ \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \]
Тогда получаем:
\[ a \cdot \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 24 \]
Найдем \( a \):
\[ a = \frac{24 \times 2}{3 \sqrt{2}} = \frac{48}{3 \sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} \]
rationalize denominator:
\[ a = \frac{16}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{2}}{2} = 8 \sqrt{2} \]
Шаг 4: Найдём гипотенузу \( c \)
\[ c = a\sqrt{2} = (8 \sqrt{2}) \times \sqrt{2} \]
\[ c = 8 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 8 \times 2 = 16 \]
Ответ: Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 16 см.
Если есть дополнительные вопросы по решению — задавайте!
