Давайте решим задачу поэтапно.
Дано:
- стороны треугольника: ( a = 18 \text{ см} ), ( b = 15 \text{ см} ), ( c = 21 \text{ см} );
- площадь треугольника: ( S = 54 \sqrt{6} ).
Задача: найти радиус вписанной окружности ( r ).
Шаг 1: Проверка данных и формулы
Радиус вписанной окружности можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( p ) — полупериметр треугольника:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
или через сторону и радиус вписанной окружности:
[
r = \frac{2S}{a + b + c}
]
Для этого нужно найти ( p ) и использовать формулу.
Шаг 2: Вычисление полупериметра ( p )
[
p = \frac{18 + 15 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}
]
Шаг 3: Проверка площади и нахождение радиуса
Площадь ( S = 54 \sqrt{6} ).
Используем формулу:
[
r = \frac{S}{p}
]
Подставим значения:
[
r = \frac{54 \sqrt{6}}{27}
]
Упростим:
[
r = 2 \sqrt{6}
]
Ответ:
[
\boxed{
r = 2 \sqrt{6} \text{ см}
}
]
Это — радиус вписанной окружности треугольника.
