Давайте разберём задачу пошагово.
Дано:
- При делении числа М на 13 остаток равен 8.
- При делении числа М на 15 деление без остатка.
- Оба деления дают одинаковый частный.
Обозначим:
- ( M ) — искомое число.
- ( q ) — частное при делении на 13 и 15 (одинаковое).
Из условия:
- ( M = 13q + 8 ) (так как при делении на 13 остаток 8).
- ( M = 15k ) (так как при делении на 15 деление без остатка, то есть число делится на 15).
Также, из условий:
[ M = 13q + 8 \equiv 0 \ (\bmod 15) ]
Это значит, что число ( 13q + 8 ) делится на 15.
Шаг 1: выразим ( M ):
Исключение — из первого выражения, что ( M = 13q + 8 ).
Из второго условия: ( M = 15k ).
Подставим — получим:
[
13q + 8 = 15k
]
Значит, ( 13q + 8 ) делится на 15.
Шаг 2: решим для ( q ):
Модель уравнения:
[
13q + 8 \equiv 0 \ (\bmod 15)
]
Это эквивалентно:
[
13q \equiv -8 \ (\bmod 15)
]
Поскольку (-8 \equiv 7 \ (\bmod 15)), то
[
13q \equiv 7 \ (\bmod 15)
]
Теперь найдём обратную к 13 по модулю 15, чтобы решить уравнение для ( q ).
Шаг 3: ищем обратное число к 13 по модулю 15:
Проверим:
[
13 \times 7 = 91 \equiv 1 \ (\bmod 15)
]
Потому что:
[
91 \div 15 = 6 \times 15 = 90, \text{ остаток } 1
]
Следовательно, обратное число к 13 — это 7, поскольку (13 \times 7 \equiv 1 \ (\bmod 15)).
Шаг 4: выразим ( q ):
Умножим обе части уравнения на 7:
[
q \equiv 7 \times 7 = 49 \equiv 49 - 3 \times 15 = 49 - 45 = 4 \ (\bmod 15)
]
Итак,
[
q \equiv 4 \ (\bmod 15)
]
А это означает, что
[
q = 15t + 4, \quad t \geq 0
]
Шаг 5: найдём минимальное ( M ):
Тогда
[
M = 13q + 8 = 13 (15t + 4) + 8 = 13 \times 15 t + 13 \times 4 + 8 = 195 t + 52 + 8 = 195 t + 60
]
Так как мы ищем минимальное ( M ), берём ( t=0 ):
[
M = 195 \times 0 + 60 = 60
]
Проверим:
Конечно, ( 60 \div 15 = 4 ). Деление без остатка, всё хорошо.
- Остаток при делении 60 на 13?
[
13 \times 4 = 52, \quad 60 - 52 = 8
]
Остаток равен 8 — условие выполнено.
Итог:
Минимальное число ( M ) равно (\boxed{60}).
