Контрольная работа № 2 по темам "Множества", "Вероятность случайного события", "Введение в теорию графов" Вариант 1 1. Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными…
Контрольная работа № 2 по темам "Множества", "Вероятность случайного события", "Введение в теорию графов" Вариант 1 1. Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Ответ объясните. 2. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события M «на второй кости выпало больше двух очков» и N «сумма очков равна семи»? Ответ объясните. 3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного опыта. Перенесите рисунок в тетрадь. а) Подпишите около рёбер недостающие вероятности. б) Найдите вероятность события . A 4. Нарисуйте таблицу элементарных событий при бросании двух игральных костей. Выделите в этой таблице цветными карандашами элементарные события, благоприятствующие событиям: А) на обеих костях выпало число очков меньшее, чем 3; Б) сумма очков на двух костях равна 7; В) произведение очков равно 12 5. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте на этом дереве «стрелок попал в мишень» и найдите его вероятность, если вероятность попадания при каждом выстреле равна: а) 0,4 б) 0,8
Давайте подробно разберем каждую задачу из варианта 1.
Задача 1
Условие: Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А — «решка выпала более двух раз» и В — «орхёл выпал более трёх раз»?
Объяснение:
- А: «решка выпала более двух раз» — то есть, количество решек \( > 2 \). Можем записать:
\(\text{А} = \{\text{количество решек} \geq 3\}\). - В: «орёл выпал более трёх раз» — то есть, количество орлов \( > 3 \). Можем записать:
\(\text{В} = \{\text{количество орлов} \geq 4\}\).
Но поскольку всего 5 бросков, то:
\[ \text{Количество орлов} + \text{Количество решек} = 5 \]
Если, например, в эксперименте на пять бросков:
- А означает, что орлов или решек — больше 2
- В — что орлов больше 3 (так как орёл — противоположность решке)
Чтобы понять, противоположные ли события, попробуем их логически проверить.
- Противоположные события — это события, которые не могут произойти одновременно и одно обязательно происходит только тогда, когда другое — не происходит.
Рассмотрим ситуации, где оба события возможны:
- В случае, когда в пяти бросках:
- А: решек > 2 → решек = 3,4,5
- В: орлов > 3 → орлов = 4,5
Но сумма орлов и решек равна 5, значит:
- если орлов > 3 (то есть 4 или 5), то решек — 1 или 0 соответственно.
- если орлов = 4, решек = 1 → решек не больше 2, а событие А — решек > 2, то это выполняется (решек=1, не более 2, а А — решка более двух раз — не выполнится).
- если орлов = 5, решек = 0 → решка не более двух раз — да, это выполнено, но орёл > 3 тоже выполнено.
Аналогично для events:
- Событие А — «более двух решек» (решек ≥ 3)
- В — «более трёх орлов» (орлов ≥ 4)
Логически они не являются противоположными, потому что:
- В случае, когда орлов ≥ 4 (то есть 4 или 5), решек будет 1 или 0 (то есть, менее 3 — не решка более 2).
- А — «решек» ≥3 — при орлах ≥ 4, решек максимум 1, а значит, не выполняется.
- Значит, события А и В могут произойти одновременно только если, например, количество орлов = 4, решек = 1. Тогда В выполнено, А — нет.
Ответ:
Нет, события А и В не являются противоположными, так как они могут происходить одновременно, и одно их не исключает полностью другого.
Задача 2
Условие: Игральную кость бросают дважды. Являются ли события M — «на второй кости выпало больше двух очков» и N — «сумма очков равна семи» — независимыми?
Объяснение:
- M: «на второй кости больше двух» — то есть, очки ≥ 3.
- N: «сумма очков равна 7».
Рассчитаем вероятности:
Общее число исходов при двух бросках кости: \(6 \times 6 = 36\).
М:
- На второй кости больше двух очков: очки 3, 4, 5, 6.
- Для каждого варианта первого броска (1-6), есть 4 варианта для второго.
- Итого: \(6 \times 4 = 24\) исхода.
N:
- Сумма равна 7 — возможные пары: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
- Итак, всего 6 исходов.
Вероятность:
\[ P(M) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \] \[ P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]Вероятность \(P(M \cap N)\):
— какие исходы отвечают обоим событиям?
— чтобы попасть в N, сумма 7: пары (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
— на втором броске больше 2: второй очки ≥ 3. Значит, исключим пары, где второй бросок ≤ 2: (1,6), (2,5), (5,2), (6,1). Остались: (3,4), (4,3).Проверка:
- (3,4): второй бросок 4 > 2, соответствует M.
- (4,3): второй бросок 3 > 2, соответствует M.
Итого, 2 исхода из 36.
\[ P(M \cap N) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]Для независимости:
\[ P(M \cap N) \stackrel{?}{=} P(M) \times P(N) \]Подставим:
\[ \frac{1}{18} \stackrel{?}{=} \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]Так как \(\frac{1}{18} \neq \frac{1}{9}\), эти события не являются независимыми.
Ответ:
Нет, события M и N не являются независимыми, так как вероятность их совместного наступления не равна произведению их вероятностей.
Задача 3
Требуется перенести рисунок дерева в тетрадь, добавить вероятности и найти вероятность события А.
Поскольку изображение дерева недоступно в текстовом чате, я помогу с концептуальной частью.
Что необходимо сделать:
Нарисовать дерево с двумя уровнями:
- Первый уровень — результат первого броска/выбора.
- Второй уровень — результат второго.
Указать вероятности переходов на каждое ребро. Если вероятности не указаны, предположите равные шансы (по 0,5).
Для поиска \(P(A)\): определить, какое событие является событием A, оно, возможно, связано с итоговыми путями.
Посчитайте вероятности путей, приводящих к событию A, сложив их.
Задача 4
Построение таблицы элементарных событий для двух бросков костей:
| Бросок 1 \ Bросок 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Выделение цветом:
- А) Выпадают числа меньше 3 на обеих костях: (1,1), (1,2), (2,1), (2,2).
- Б) Сумма равна 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
- В) Произведение равно 12: (2,6), (3,4), (4,3), (6,2).
Задача 5
Дерево для выстрелов:
- Вариант: стрелок делает выстрелы до попадания или промаха.
- Вероятность попадания — \(p\).
- Если попал — стрелок останавливается.
- Если промах — делает следующий выстрел.
Дерево:
Первый выстрел:
— Попал (вероятность \(p\)), и процесс завершается.
— Промахнул (вероятность \(1-p\)), делает второй выстрел.Второй выстрел при промахе:
— Попал (вероятность \(p\)), останавливается.
— Промах (вероятность \(1-p\)), продолжает стрелять.
Расчет вероятности попадания:
Вероятность, что стрелок попадет в мишень в любом из возможных случаев:
\[ P(\text{попадание}) = p + (1-p) \times p + (1-p)^2 \times p + \dots \]Это бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем \((1-p)\).
Сумма:
\[ P(\text{попадание}) = p \sum_{k=0}^{\infty} (1-p)^k = p \times \frac{1}{1 - (1-p)} = p \times \frac{1}{p} = 1 \]— в смысловом плане, поскольку у стрелка бесконечный шанс попасть, вероятность попасть в итоге равна 1.
Но поскольку в условии поставлены конкретные \(p=0.4\) и \(p=0.8\), посчитаем для каждого:
для \(p=0,4\):
Вероятность попасть в мишень —
\[ P = 0,4 + 0,6 \times 0,4 + 0,6^2 \times 0,4 + \dots = 1 \] (по той же формуле).для \(p=0,8\):
Аналогично, \(\boxed{1}\).
Отметка:
- Вероятность попадания в любом случае равна 1, поскольку стрелок может делать бесконечно много выстрелов с нулевой вероятностью пропуска.
Если нужно, я могу подготовить более конкретные формулы или дополнительные разъяснения.
