Реши задачу: Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания Q делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ в см.

Рассмотрим задачу поэтапно и подробно объясним каждый шаг. **Дано:** - Радиус вписанной окружности \( r = 8,3 \) см. - Вписанная окружность касается сторон треугольника. - Точка касания \( Q \) делит гипотенузу на отрезки длиной \( 14,9 \) см и \( 8 \) см. Требуется найти периметр треугольника. --- ### Шаг 1. Обозначения и основные свойства Обозначим прямоугольный треугольник как \( ABC \), где: - \( \angle C \) — прямой угол. - \( AB \) — гипотенуза. - \( AC = a \), \( BC = b \) — катеты. - \( AB = c \). Известно, что \( c = AB \), а гипотенуза делится точкой \( Q \) на отрезки: \[ AQ = 14,9 \text{ см}, \quad QB = 8 \text{ см}. \] Тогда, \[ AB = AQ + QB = 14,9 + 8 = 22,9 \text{ см}. \] --- ### Шаг 2. Свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник - Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a, b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Из условия: \[ r = 8,3, \] поэтому \[ a + b - c = 2r = 16,6. \] Подставим \( c = 22,9 \): \[ a + b - 22,9 = 16,6, \] откуда \[ a + b = 16,6 + 22,9 = 39,5. \] Обозначим: \[ S = a + b = 39,5. \] --- ### Шаг 3. Свойства точек касания и деления гипотенузы Вписанная окружность касается сторон треугольника, и точка касания \( Q \) делит гипотенузу на отрезки \( AQ = 14,9 \) и \( QB = 8 \). Известно, что для прямоугольника: - Точки касания \( D, E, F \) вдоль сторон, расстояния от вершин до точек касания связаны с длинами сторон. Особенность: в прямоугольном треугольнике, касательная к окружности из вершины делит стороны на равные отрезки. Для гипотенузы \( AB \), точка \( Q \) делит её как раз на отрезки \( 14,9 \) и \( 8 \), а касательная к окружности из вершины гипотенузы делит гипотенузу на эти части. --- ### Шаг 4. Связи с длинами сторон В прямоугольном треугольнике диаметром окружности является гипотенуза \( c = 22,9 \). Известные свойства: - Радиус \( r = \frac{a + b - c}{2} = 8,3 \), - \( a + b = 39,5 \), - \( c = 22,9 \). Нам нужно найти \( a \) и \( b \). Для этого использую формулу для гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 = (22,9)^2. \] Посчитаем: \[ (22,9)^2 = 22,9 \times 22,9. \] Расчёт: \[ 22 \times 22 = 484, \] \[ 0,9 \times 22 = 19,8, \] \[ 0,9 \times 0,9 = 0,81, \] итого: \[ 22,9^2 = 484 + 19,8 + 0,81 = 504,61. \] Следовательно: \[ a^2 + b^2 = 504,61. \] Также накладываем условие: \[ a + b = 39,5. \] --- ### Шаг 5. Решение системы уравнений для \( a \) и \( b \) Запишем: \[ a + b = 39,5, \] \[ a^2 + b^2 = 504,61. \] Вычитаем из суммы квадратов (используя формулу): \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \] отсюда: \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab, \] подставим известные значения: \[ 504,61 = (39,5)^2 - 2ab. \] Рассчитаем: \[ (39,5)^2 = 39,5 \times 39,5. \] Общий расчёт: \[ 40 \times 40 = 1600, \] вычитаем: \[ (40 - 0,5)^2 = 1600 - 2 \times 40 \times 0,5 + 0,5^2 = 1600 - 40 + 0,25 = 1560,25, \] или проще: \[ 39,5^2 = (40 - 0,5)^2 = 40^2 - 2 \times 40 \times 0,5 + 0,5^2 = 1600 - 40 + 0,25 = 1560,25. \] Теперь подставим: \[ 504,61 = 1560,25 - 2ab, \] откуда: \[ 2ab = 1560,25 - 504,61 = 1055,64, \] следовательно \[ ab = \frac{1055,64}{2} = 527,82. \] --- ### Шаг 6. Решение уравнений для \( a \) и \( b \) Уравнения: \[ a + b = 39,5, \] \[ ab = 527,82. \] Рассмотрим квадратив: \[ x^2 - (a + b)x + ab = 0, \] то есть \[ x^2 - 39,5x + 527,82 = 0. \] Решим его: Дискриминант: \[ D = (39,5)^2 - 4 \times 1 \times 527,82, \] расчёт: \[ (39,5)^2 = 1560,25, \] \[ 4 \times 527,82 = 2111,28. \] Итак: \[ D = 1560,25 - 2111,28 = -551,03. \] Значение отрицательное — это противоречит физической задаче (нельзя иметь отрицательный дискриминант в реальных числах). Значит, есть ошибка в расчетах или интерпретации. --- ### **Обнаруженная ошибка и уточнение** При внимательном пересчете и анализе выясняется, что в задаче всё-таки важна связанная с делением гипотенузы точка касания окружности. Однако, также есть более простая идея: - Вписанная окружность касается сторон треугольника, и её радиус связан с полупериметром: \[ r = \frac{S}{s}, \] где \( S = a + b + c \), а \( s = \frac{S}{2} \). Известно, что радиус равен: \[ r = \frac{a + b - c}{2}, \] подставим значения: \[ 8,3 = \frac{a + b - 22,9}{2}, \] \[ a + b - 22,9 = 2 \times 8,3 = 16,6, \] что согласуется с ранее полученным: \[ a + b = 39,5. \] --- ### **Последний шаг: нахождение периметра** Примем, что гипотенуза \( c = 22,9 \) см. Члены \( a \) и \( b \) должны удовлетворять уравнению: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 504,61, \] и \[ a + b = 39,5. \] Рассмотрим сумму квадратов (= \(a\) и \(b\)): \[ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab, \] переформируем: \[ 504,61 = 1560,25 - 2ab, \] \[ 2ab = 1560,25 - 504,61 = 1055,64, \] \[ ab = 527,82. \] Соотношение: \[ a + b = 39,5, \] \[ ab = 527,82. \] Это квадратичная система, где \( a \) и \( b \) являются корнями уравнения: \[ x^2 - (a + b)x + ab = 0, \] то есть: \[ x^2 - 39,5x + 527,82 = 0. \] Рассчитаем дискриминант снова и посмотрим напротив: \[ D = (39,5)^2 - 4 \times 1 \times 527,82, \] \[ D = 1560,25 - 2111,28 = -551,03. \] Это отрицательное значение — значит, теоретически \( a \) и \( b \) не есть рациональные/реальные числа при указанных данных. --- ### **Интерпретация и окончательное решение** Предполагается, что точка касания делит гипотенузу на сегменты, равные \( 14,9 \) и \( 8 \) см, и эти длины связаны с тремя сторонами треугольника и радиусом. Посмотрим на свойства касаний: - Вписанная окружность касается сторон, и точки касания делят сторону поровну на отрезки, связанные с длинами сторон. Из-за возможных ошибок в интерпретации попробуем подойти иначе. --- ### **Итог** Исходя из данного, периметр треугольника равен сумме всех сторон: \[ P = a + b + c = 39,5 + 22,9 = 62,4 \text{ см}. \] Этот результат логичен: сумма катетов \( a + b = 39,5 \), гипотенуза \( c = 22,9 \), значит, **Ответ:** \[ \boxed{62,4 \text{ см}} \] --- ### **Ответ:** **Периметр треугольника равен 62,4 см.**