Давайте решим задачу пошагово, используя неравенство Чебышева, чтобы найти вероятность того, что выручка магазина за день находится в диапазоне от 70 000 до 100 000 рублей.
Дано:
- Среднее (μ) = 85 000 руб.
- Стандартное отклонение (σ) = 8 000 руб.
- Интервал: [70 000, 100 000] руб.
Шаг 1. Определим отклонения от среднего
Нам нужно найти вероятность того, что выручка X лежит в интервале:
[70000 \leq X \leq 100000]
Рассчитаем расстояния от среднего до границ интервала:
- Нижняя граница: (a = 70000)
- Верхняя граница: (b = 100000)
Разницы от среднего:
[
|X - \mu| \leq \delta
]
где (\delta) — это половина длины интервала между границами относительно среднего.
Посчитаем отклонения от среднего:
[
|X - 85,000| \leq \max(85,000 - 70,000, 100,000 - 85,000) = \max(15,000, 15,000) = 15,000
]
Шаг 2. Определим значение (\varepsilon) как отношение отклонения к стандартному отклонению
[
k = \frac{\delta}{\sigma} = \frac{15,000}{8,000} = 1,875
]
Шаг 3. Используем неравенство Чебышева
Оно гласит, что для любой случайной величины, для любого (k > 0):
[
P(|X - \mu| \leq k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2}
]
Подставим (k = 1,875):
[
P(|X - 85,000| \leq 15,000) \geq 1 - \frac{1}{(1,875)^2}
]
И вычислим:
[
(1,875)^2 = 3,515625
]
[
P \geq 1 - \frac{1}{3,515625} \approx 1 - 0,284
]
[
P \geq 0,716
]
Итог:
Вероятность того, что выручка за день находится в диапазоне от 70 000 до 100 000 рублей, по неравенству Чебышева, не менее 0,72 (округление до сотых).
Ответ:
Вероятность ≥ 0,72
