Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24, высота призмы равна 15. Найдите площадь ее поверхности.
Давайте пошагово решим задачу и объясним каждый этап.
Дано:
- Основание — прямой треугольник с катетами 7 и 24.
- Высота призмы (расстояние между основаниями) — 15.
- Требуется найти площадь поверхности призмы.
Шаг 1. Найти площадь основания (прямоугольного треугольника)
Площадь прямого треугольника с катетами \(a\) и \(b\) равна:
\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2}ab \]
Подставим значения:
\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = \frac{1}{2} \times 168 = 84 \]
Ответ: площадь основания — 84.
Шаг 2. Найти гипотенузу треугольника (необязательно для площади поверхности, но полезно для проверки)
Гипотенуза \(c\):
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]
Шаг 3. Найти площадь боковых поверхностей
Площадь боковой поверхности включает боковые грани — это прямоугольники, соединяющие соответствующие стороны оснований.
Боковая поверхность, прилегающая к катету 7 (сторона основания):
Площадь — длина этой стороны \(\times\) высота призмы:\[ S_1 = 7 \times 15 = 105 \]
Аналогично, боковая поверхность, прилегающая к катету 24:
\[ S_2 = 24 \times 15 = 360 \]
Боковая поверхность, прилегающая к гипотенузе 25, тоже прямоугольник:
\[ S_3 = 25 \times 15 = 375 \]
Шаг 4. Найти общую площадь боковой поверхности
\[ S_{\text{боковая}} = S_1 + S_2 + S_3 = 105 + 360 + 375 = 840 \]
Шаг 5. Найти площадь всей поверхности призмы
Площадь поверхности призмы — сумма площади двух оснований и боковых поверхностей:
\[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = 2 \times 84 + 840 = 168 + 840 = 1008 \]
Итог:
Ответ: площадь поверхности призмы равна \(\boxed{1008}\).
Если нужно более подробное объяснение какого-либо этапа, скажите!
