Олимпиада по математике проходит только для учеников 4,5,6,7 классов. Известно, что на ней ученикам 4,5,6 классов предлагается решить вариант, состоящий из семи задач, а ученикам…
Олимпиада по математике проходит только для учеников 4,5,6,7 классов. Известно, что на ней ученикам 4,5,6 классов предлагается решить вариант, состоящий из семи задач, а ученикам 7 класса - из восьми задач. Составители заданий знают, что задачу для 4 класса можно также использовать для составления варианта 5 класса (но не для других классов), задачу 5 класса - для 4 и 6 (но не для других классов), задачу 6 класса - для 5 и 7 (но не для других классов), задачу 7 класса - для 6 (но не для других классов). При этом не должно совпадать более двух задач в вариантах соседних классов (четвёртого с пятым, пятого с шестым и шестого с седьмым). Какое наименьшее количество задач надо ещё придумать составителям, если уже придумали одну задачу для пятого класса и одну задачу для 7
Давайте внимательно разберём задачу и определим, какие задачи уже есть и какие нужно придумать.
Дано:
- Задачи для классов: 4, 5, 6, 7.
- Для 4, 5, 6 классов — по 7 задач, для 7 класса — 8 задач.
- Возможность использования задач другого класса:
- Задача 4 класса (З4) — для 5 класса.
- Задача 5 класса (З5) — для 4 и 6 классов.
- Задача 6 класса (З6) — для 5 и 7 классов.
- Задача 7 класса (З7) — для 6 класса.
- Каждое задание используется для определённых классов, при этом не должно совпадать более двух задач в соседних классах (4-5, 5-6, 6-7).
Дано также:
- Уже придумана одна задача для 5 класса.
- Уже придумана одна задача для 7 класса.
Нам нужно найти, какое минимальное количество новых задач необходимо придумать, чтобы выполнить условия.
Шаг 1. Определим начальный набор задач.
Обозначим:
- Новые задачи для 4 класса: \(N_4\)
- Новые задачи для 5 класса: \(N_5\)
- Новые задачи для 6 класса: \(N_6\)
- Новые задачи для 7 класса: \(N_7\)
В условии уже есть:
- 1 задача для 5 класса (уже есть, то есть \(N_5 \ge 1\))
- 1 задача для 7 класса (уже есть, \(N_7 \ge 1\))
Шаг 2. Какие задачи могут использоваться для каждого класса?
Исходя из условий:
| Класс | Собственные задачи | Возможное использование задач других классов (по условию) |
|---|---|---|
| 4 | З4 | для 5 класса (З4) — для 5 класса, но не для других классов |
| 5 | З5 | для 4 и 6 — для 4 и 6 классов |
| 6 | З6 | для 5 и 7 — для 5 и 7 классов |
| 7 | З7 | для 6 — для 6 класса |
Шаг 3. Построим стратегию использования задач
Для минимизации новых задач, будем максимально использовать возможности для обмена заданиями между классами.
Также, помним, что не должно быть совпадений более двух задач в соседних классах.
Шаг 4. Собственные задачи для каждого класса
Пусть:
- \(A_4\) — число своих задач для 4 класса
- \(A_5\) — число своих задач для 5 класса
- \(A_6\) — число своих задач для 6 класса
- \(A_7\) — число своих задач для 7 класса
В изначальных данных для каждого класса:
- 4 класс: всего 7 задач
- 5 класс: всего 7 задач
- 6 класс: всего 7 задач
- 7 класс: всего 8 задач
Из которых:
- Отмеченные уже есть задачи:
- 1 для 5 класса: \(A_5 \ge 1\)
- 1 для 7 класса: \(A_7 \ge 1\)
Нам нужно подобрать задачу для каждого класса так, чтобы:
- Общее число задач не превышало заданное число.
- Не более двух совпадений в соседних классах.
Шаг 5. Построение вариантов использования
Для минимизации новых задач попробуем максимально использовать возможности обмена задачами.
Обратите внимание, что:
- Задача 4 класса (З4) может использоваться только для 5 класса.
- Задача 5 класса (З5) может использоваться для 4 и 6 классов.
- Задача 6 класса (З6) — для 5 и 7 классов.
- Задача 7 класса (З7) — для 6 класса.
Шаг 6. Предположительный сценарий
Для 4 класса:
- Используем 7 своих задач, либо часть из них переносим от 5 класса (З5), чтобы снизить необходимость придумывать новые.
Для 5 класса:
- Есть 1 задача, которая уже есть.
- Можно использовать З4 для 5 класса, а также часть З5 для 4 и 6.
Для 6 класса:
- Нужно минимум 7 задач.
- Задача З7 может использоваться здесь (на 6 классе).
Для 7 класса:
- Есть 1 задача (уже есть), которая может быть З7, используемая для 6 класса.
Шаг 7. Итоговое решение
Для минимизации новых задач нужно проверить, сколько задач мы можем "перелить" между классами, используя существующие и уже придуманные.
Учитывая, что одна задача уже есть для 5 класса, и одна для 7 класса, то:
- Можно использовать задачу 5 класса (З5) для 4 и 6 классов.
- Можно использовать задачу 7 класса (З7) для 6 класса.
При этом необходимо, чтобы число общих задач в соседних классах не превышало 2.
Итоговое подсчёт:
- Для 4 класса:
- Нужно 7 задач, можем считать, что часть из них — задачи З4 и З5, используя уже существующую задачу для 5 класса.
- Для 5 класса:
- Есть 1 задача (уже есть). Можно добавить ещё одну новую или использовать задачу З4 и З5.
- Для 6 класса:
- Используем задачу З7, которая уже есть для 7 класса, а также задачи З5 и З6.
- Для 7 класса:
- Есть одна задача (уже есть), остальные нужны на 8 задач.
Ответ
Наименьшее число новых задач, которые нужно придумать:
- Нужно придумать такие задачи для каждого класса, чтобы обеспечить выполнение условий.
С учётом уже существующих задач:
- Для 4 класса — минимум 6 новых (чтобы дополнить уникальные задачи).
- Для 5 класса — 0 новых, так как одна уже есть.
- Для 6 класса — 1 новая (чтобы добавить недостающие).
- Для 7 класса — 0 новых, так как одна уже есть и она может использоваться.
ИТОГО:
Минимальное количество новых задач = 6 (для 4 класса) + 1 (для 6 класса) = 7.
Итоговый ответ:
Чтобы выполнить все условия, необходимо придумать минимум 7 новых задач.
