Три школьницы сделали по два утверждения про три натуральных числа. Тамара сказала: «Сумма этих чисел 34, а их произведение 56». Алиса сказала: «Сумма попарных произведений равна…

Дано, что у каждой школьницы по одному верному и одному ложному утверждению. Рассмотрим их по очереди.

Обозначим три натуральных числа через \(a\), \(b\) и \(c\).

---

Тарама сказала:

1. «Сумма этих чисел 34» — \(a + b + c = 34\)
2. «Их произведение 56» — \(abc = 56\)

Алиса сказала:

1. «Сумма попарных произведений равна 311» — \(\ ab + ac + bc = 311\)
2. «Наименьшее число равно 5» — \( \min(a, b, c) = 5 \)

Василиса сказала:

1. «Все три числа простые» — \(a, b, c\) — простые числа
2. «Все эти три числа равны друг другу» — \(a = b = c\)

---

По условию: у каждой школьницы ровно одно верное и одно ложное утверждение.

---

Анализ утверждений Тарамы

Вариант 1:

• \(a + b + c = 34\) — верно
• \(abc = 56\) — ложно

Вариант 2:

• \(a + b + c = 34\) — ложно
• \(abc = 56\) — верно

---

Анализ утверждений Алисы

Вариант 1:

• \(ab + ac + bc = 311\) — верно
• \(\min(a, b, c) = 5\) — ложно

Вариант 2:

• \(ab + ac + bc = 311\) — ложно
• \(\min(a, b, c) = 5\) — верно

---

Анализ утверждений Василисы

Вариант 1:

• Все числа простые — верно
• Все числа равны — ложно

Вариант 2:

• Все числа простые — ложно
• Все числа равны — верно

---

Рассмотрим возможные сценарии.

---

Вариант А: Тарама говорит, что сумма — 34, а произведение — не 56.

Из этого следует, что \(a + b + c = 34\), и \(abc \neq 56\).

---

Допустим, Алиса сказала, что сумма попарных произведений равна 311, а наименьшее число — не 5.

Отсюда:

• \(ab + ac + bc = 311\) — верно
• \(\min(a, b, c) \neq 5\)

---

Василиса говорит, что все три числа простые и не равны друг другу.
— Тогда \(a,b,c\) — простые и не равны.

---

1. По условию, у Василисы:

• одно верное, одно ложное утверждение.
• Она говорит: "Все числа простые" и "Все числа равны".

Если "Все числа простые" верно, то "Все числа равны" — ложно.
Это возможно, поскольку с простыми числами можно иметь разные значения.

Если "Все числа равны" верно, то "Все числа простые" — ложно, что невозможно, поскольку если все равны и простые, то оба утверждения одновременно не противоречат (если все равны и простые).

Но условие, что у каждой школьницы — по одному верному и ложному, подразумевает, что для Василисы:

• либо "Все числа простые" — верное, а "Все числа равны" — ложное,
• либо "Все числа равны" — верное, а "Все числа простые" — ложное.

Рассмотрим оба варианта.

---

Вариант 1: Василиса говорит, что все числа простые (верно), и все равны (ложно).

Тогда:

• \(a, b, c\) — простые числа, не все равны.
• В этом случае, чтобы сумма была 34, сумма трёх простых чисел.
  — Средней комбинации со всеми простыми числами, сумма 34, возможна?

---

Отсмотрим варианта, что \(a, b, c\) — простые числа, не все равны, и сумма — 34.

Для этого нужно найти три простых числа, сумма которых равна 34, и таких, чтобы их произведение не было равно 56 (или чтобы оно было не равно 56).

---

Перебор простых чисел, сумма которых 34:

Возьмем минимальные простые числа и проверим. Простые число: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

Ищем три числа, сумма которых 34.

Достаточно перебрать комбинации.

• \(2 + 3 + 29 = 34\) — проверим произведение: \(2*3*29=174\neq56\). Это подходит, если произведение не равно 56.

• \(2 + 5 + 27\) — 27 не простое.

• \(2 + 13 + 19 = 34\).
  Произведение: \(2*13*19=2*247=494\neq 56\). Это подходит.

• \(3 + 5 + 26\) — 26 не простое.

• \(3 + 11 + 20\) — 20 не простое.

• \(3 + 13 + 18\) — 18 не простое.

• \(5 + 11 + 18\) — 18 не простое.

• \(7 + 13 + 14\) — 14 не простое.

• \(17 + 17 + 0\) — невозможно.

Итак, возможные три простых числа с суммой 34:

• (2, 3, 29), произведение 174
• (2, 13, 19), произведение 494

---

Теперь, проверим произведение, оно в обоих случаях не равно 56, что соответствует предположению, что «произведение — не 56».

---

Итог по Варианту 1 (Василиса говорит, что все простые и не все равны):

– Утверждение "Все простые" верно, "Все равны" — ложное, что соответствует условию (один верен, другой — ложен).

---

Проверим утверждения Тарамы и Алисы для этого варианта:

• Тарама:
  • Вернее, что сумма 34 (верно), произведение не равно 56 (верно или ложно?). В нашем случае, \(\cdots\) — произведения 174 или 494, оба не равно 56, значит это верное утверждение о произведении. Но у Тарамы — одно верное, одно — ложное.
    Значит, о сумме (34) — верно, о произведении (56) — ложно.

Тогда, по условию, Тарама сказала:

• “Сумма — 34” — верно
• “Произведение — 56” — ложно

Это соответствует, т.к. сумма равна 34, а произведение не 56.

• Алиса:
  • сказала:
    • “Сумма попарных произведений равна 311”
    • “Наименьшее число равно 5”

Для numbers: (2, 13, 19):

\(ab + ac + bc = (2*13) + (2*19) + (13*19) = 26 + 38 + 247 = 311\)

Это точно! Значит, утверждение о сумме попарных произведений — верно.

И затем: наименьшее число — 2, а не 5, следовательно, "Наименьшее число равно 5" — ложь.

Алиса:

• о сумме попарных произведений — верно
• о наименьшем числе — ложно.

Это соответствует: у Аси — одно верное (сумма попарных), одно ложное (минимум).

---

Итог по данному сценарию:

• Василиса: все числа простые и не равны (верно), все равны — ложно.
• Тарама: сумма 34 — верно; произведение 56 — ложно.
• Алиса: сумма попарных 311 — верно; наименьшее 5 — ложно.

Условие выполнено.

---

Ответ:

Три числа: \(\boxed{2, 13, 19}\).