Три школьницы сделали по два утверждения про три натуральных числа. Тамара сказала: «Сумма этих чисел 34, а их произведение 56». Алиса сказала: «Сумма попарных произведений равна 311, а наименьшее число равно 5». Василиса заявила: «Все три числа простые и все эти три числа равны друг другу». У каждой школьницы одно утверждение верное, а другое нет. Найдите эти числа.

Дано, что у каждой школьницы по одному верному и одному ложному утверждению. Рассмотрим их по очереди. Обозначим три натуральных числа через \(a\), \(b\) и \(c\). --- **Тарама сказала:** 1. «Сумма этих чисел 34» — \(a + b + c = 34\) 2. «Их произведение 56» — \(abc = 56\) **Алиса сказала:** 1. «Сумма попарных произведений равна 311» — \(\ ab + ac + bc = 311\) 2. «Наименьшее число равно 5» — \( \min(a, b, c) = 5 \) **Василиса сказала:** 1. «Все три числа простые» — \(a, b, c\) — простые числа 2. «Все эти три числа равны друг другу» — \(a = b = c\) --- **По условию:** у каждой школьницы ровно одно верное и одно ложное утверждение. --- ### Анализ утверждений Тарамы *Вариант 1:* - \(a + b + c = 34\) — верно - \(abc = 56\) — ложно *Вариант 2:* - \(a + b + c = 34\) — ложно - \(abc = 56\) — верно --- ### Анализ утверждений Алисы *Вариант 1:* - \(ab + ac + bc = 311\) — верно - \(\min(a, b, c) = 5\) — ложно *Вариант 2:* - \(ab + ac + bc = 311\) — ложно - \(\min(a, b, c) = 5\) — верно --- ### Анализ утверждений Василисы *Вариант 1:* - Все числа простые — верно - Все числа равны — ложно *Вариант 2:* - Все числа простые — ложно - Все числа равны — верно --- ***Рассмотрим возможные сценарии.*** --- ## Вариант А: Тарама говорит, что сумма — 34, а произведение — не 56. Из этого следует, что \(a + b + c = 34\), и \(abc \neq 56\). --- ***Допустим, Алиса сказала, что сумма попарных произведений равна 311, а наименьшее число — не 5.*** Отсюда: - \(ab + ac + bc = 311\) — верно - \(\min(a, b, c) \neq 5\) --- ***Василиса говорит, что все три числа простые и не равны друг другу.*** — Тогда \(a,b,c\) — простые и не равны. --- ### 1. По условию, у Василисы: - одно верное, одно ложное утверждение. - Она говорит: "Все числа простые" и "Все числа равны". Если "Все числа простые" верно, то "Все числа равны" — ложно. Это возможно, поскольку с простыми числами можно иметь разные значения. Если "Все числа равны" верно, то "Все числа простые" — ложно, что невозможно, поскольку если все равны и простые, то оба утверждения одновременно не противоречат (если все равны и простые). Но условие, что у каждой школьницы — по одному верному и ложному, подразумевает, что для Василисы: - либо "Все числа простые" — верное, а "Все числа равны" — ложное, - либо "Все числа равны" — верное, а "Все числа простые" — ложное. Рассмотрим оба варианта. --- ## Вариант 1: Василиса говорит, что все числа простые (верно), и все равны (ложно). Тогда: - \(a, b, c\) — простые числа, не все равны. - В этом случае, чтобы сумма была 34, сумма трёх простых чисел. — Средней комбинации со всеми простыми числами, сумма 34, возможна? --- ## Отсмотрим варианта, что \(a, b, c\) — простые числа, не все равны, и сумма — 34. Для этого нужно найти три простых числа, сумма которых равна 34, и таких, чтобы их произведение не было равно 56 (или чтобы оно было не равно 56). --- ### Перебор простых чисел, сумма которых 34: Возьмем минимальные простые числа и проверим. Простые число: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... Ищем три числа, сумма которых 34. Достаточно перебрать комбинации. - \(2 + 3 + 29 = 34\) — проверим произведение: \(2*3*29=174\neq56\). Это подходит, если произведение не равно 56. - \(2 + 5 + 27\) — 27 не простое. - \(2 + 13 + 19 = 34\). Произведение: \(2*13*19=2*247=494\neq 56\). Это подходит. - \(3 + 5 + 26\) — 26 не простое. - \(3 + 11 + 20\) — 20 не простое. - \(3 + 13 + 18\) — 18 не простое. - \(5 + 11 + 18\) — 18 не простое. - \(7 + 13 + 14\) — 14 не простое. - \(17 + 17 + 0\) — невозможно. Итак, возможные три простых числа с суммой 34: - (2, 3, 29), произведение 174 - (2, 13, 19), произведение 494 --- Теперь, проверим произведение, оно в обоих случаях не равно 56, что соответствует предположению, что «произведение — не 56». --- ## Итог по Варианту 1 (Василиса говорит, что все простые и не все равны): – Утверждение "Все простые" верно, "Все равны" — ложное, что соответствует условию (один верен, другой — ложен). --- ## Проверим утверждения Тарамы и Алисы для этого варианта: - Тарама: - Вернее, что сумма 34 (верно), произведение не равно 56 (верно или ложно?). В нашем случае, \(\cdots\) — произведения 174 или 494, оба не равно 56, значит это верное утверждение о произведении. Но у Тарамы — одно верное, одно — ложное. Значит, о сумме (34) — верно, о произведении (56) — ложно. Тогда, по условию, Тарама сказала: - “Сумма — 34” — верно - “Произведение — 56” — ложно Это соответствует, т.к. сумма равна 34, а произведение не 56. - Алиса: - сказала: - “Сумма попарных произведений равна 311” - “Наименьшее число равно 5” Для numbers: (2, 13, 19): \(ab + ac + bc = (2*13) + (2*19) + (13*19) = 26 + 38 + 247 = 311\) Это точно! Значит, утверждение о сумме попарных произведений — верно. И затем: наименьшее число — 2, а не 5, следовательно, "Наименьшее число равно 5" — ложь. Алиса: - о сумме попарных произведений — верно - о наименьшем числе — ложно. Это соответствует: у Аси — одно верное (сумма попарных), одно ложное (минимум). --- ### Итог по данному сценарию: - Василиса: все числа простые и не равны (верно), все равны — ложно. - Тарама: сумма 34 — верно; произведение 56 — ложно. - Алиса: сумма попарных 311 — верно; наименьшее 5 — ложно. Условие выполнено. --- ## **Ответ:** **Три числа: \(\boxed{2, 13, 19}\).**