Давайте разберёмся с решением этого уравнения по шагам.
Шаг 1: Анализ исходного уравнения
Дано уравнение:
[
(x^2 + 4)^2 - 2(x^2 + 4) - 48 = 0
]
Шаг 2: Ввод замененной переменной
Обратите внимание, что внутри уравнения встречается выражение (x^2 + 4). Чтобы упростить уравнение, сделаем замену:
[
t = x^2 + 4
]
Тогда исходное уравнение принимает вид:
[
t^2 - 2t - 48 = 0
]
Ответ на первый вопрос:
Чтобы уравнение приняло вид (t^2 - 2t - 48 = 0), необходимо сделать замену ( t = x^2 + 4 ).
Шаг 3: Определение решений для уравнения по переменной (t)
Рассмотрим квадратное уравнение:
[
t^2 - 2t - 48 = 0
]
Для его решения используем формулу:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a=1), (b=-2), (c=-48).
Подставляем:
[
t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-48)}}{2}
]
[
t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}
]
[
t = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2}
]
[
t = \frac{2 \pm 14}{2}
]
Получаем два решения:
[
t_1 = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8
]
[
t_2 = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6
]
Шаг 4: Решение уравнения для (x)
Теперь возвращаемся к исходной переменной:
[
t = x^2 + 4
]
Для каждого значения (t):
При (t=8):
[
x^2 + 4 = 8 \Rightarrow x^2 = 8 - 4 = 4
]
Значит:
[
x = \pm \sqrt{4} = \pm 2
]
При (t=-6):
[
x^2 + 4 = -6 \Rightarrow x^2 = -6 - 4 = -10
]
Так как (x^2) не может быть отрицательным в реальных числах, решений для этого случая нет.
Ответы:
Количество решений у исходного уравнения в области действительных чисел: 2 решения, это (x = 2) и (x = -2).
Решения уравнения:
[
x = \pm 2
]
Если потребуется более глубокое объяснение или помощь по аналогичным задачам — обращайтесь!
