Решите методом замены переменной уравнение: (x²+4)²-2(x²+4) - 48 = 0. Какую замену необходимо произвести, чтобы уравнение приняло вид t²-2t-48 = 0? Сколько решений имеет уравнение…

Давайте разберёмся с решением этого уравнения по шагам.

Шаг 1: Анализ исходного уравнения

Дано уравнение: \[ (x^2 + 4)^2 - 2(x^2 + 4) - 48 = 0 \]

Шаг 2: Ввод замененной переменной

Обратите внимание, что внутри уравнения встречается выражение \(x^2 + 4\). Чтобы упростить уравнение, сделаем замену: \[ t = x^2 + 4 \]

Тогда исходное уравнение принимает вид: \[ t^2 - 2t - 48 = 0 \]

Ответ на первый вопрос:
Чтобы уравнение приняло вид \(t^2 - 2t - 48 = 0\), необходимо сделать замену \( t = x^2 + 4 \).

Шаг 3: Определение решений для уравнения по переменной \(t\)

Рассмотрим квадратное уравнение: \[ t^2 - 2t - 48 = 0 \]

Для его решения используем формулу: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-48\).

Подставляем: \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 1 \times (-48)}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm 14}{2} \]

Получаем два решения: \[ t_1 = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ t_2 = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Шаг 4: Решение уравнения для \(x\)

Теперь возвращаемся к исходной переменной: \[ t = x^2 + 4 \]

Для каждого значения \(t\):

• При \(t=8\):

  \[ x^2 + 4 = 8 \Rightarrow x^2 = 8 - 4 = 4 \]

  Значит: \[ x = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \]

• При \(t=-6\):

  \[ x^2 + 4 = -6 \Rightarrow x^2 = -6 - 4 = -10 \]

  Так как \(x^2\) не может быть отрицательным в реальных числах, решений для этого случая нет.

Ответы:

• Количество решений у исходного уравнения в области действительных чисел: 2 решения, это \(x = 2\) и \(x = -2\).

• Решения уравнения:
  \[ x = \pm 2 \]

Если потребуется более глубокое объяснение или помощь по аналогичным задачам — обращайтесь!