Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца. Несмотря на огромные трудности в 1941 г., связанные с началом Великой Отечественной войны, благодаря самоотверженному труду советских металлургов объём выпуска цельнометаллических самолётов сократился совсем незначительно, а с 1942 г. их производство росло ускоренными темпами. Представьте, что на склад доставлены металлические слитки алюминия, меди, магния и марганца. Каждого металла по одной тонне. Выплавка дюралюминия проводится в точном соответствии с прописью. Какого металла на складе останется больше, чем остальных?

Давайте внимательно проанализируем задачу и шаг за шагом решим её. **Исходные данные:** - На складе по **одной тонне** каждого металла (алюминий, медь, магний, марганец). - Требуется изготовить дюралюминий в соответствии с пропорциями: - Алюминий — основа сплава - Медь — около 5% - Магний — около 2% - Марганец — около 0,5% **Задача:** определить, какого металла останется больше после изготовления максимально возможного объема дюралюминия. --- ### Шаг 1. Определение пропорций в сплаве Обозначим: - \( A \) — масса алюминия - \( Cu \) — масса меди - \( Mg \) — масса магния - \( Mn \) — масса марганца Из условия: - \( Cu \) составляет примерно 5% от общей массы сплава - \( Mg \) — около 2% - \( Mn \) — около 0,5% - Алюминий — основная часть, остальные компоненты — по их частям. --- ### Шаг 2. Задача максимизации массы сплава Для простоты предположим, что количество каждого металла — 1 тонну. Нам нужно изготовить максимально возможное количество сплава, соблюдая пропорции, не превышая количество доступных металлов. ### Шаг 3. Вычисление количества сплава по каждому металлу Пусть \( M \) — масса дюралюминия, который мы можем изготовить. Из пропорций: - Медь составляет 5% от массы: \(\quad Cu = 0.05 \times M \) - Магний — 2%: \(\quad Mg = 0.02 \times M \) - Марганец — 0,5%: \(\quad Mn = 0.005 \times M \) - Алюминий — оставшаяся часть, равна: \(\quad A = M - (Cu + Mg + Mn) \) Подставим: \[ A = M - (0.05 M + 0.02 M + 0.005 M) = M - 0.075 M = 0.925 M \] Итак: - Алюминий: \(0.925 M\) - Медь: \(0.05 M\) - Магний: \(0.02 M\) - Марганец: \(0.005 M\) --- ### Шаг 4. Ограничения по доступным металлам На складах изначально есть по 1 тонне каждого металла: \[ \begin{cases} 0.925 M \leq 1 \quad \text{(алюминий)} \\ 0.05 M \leq 1 \quad \text{(медь)} \\ 0.02 M \leq 1 \quad \text{(магний)} \\ 0.005 M \leq 1 \quad \text{(марганец)} \end{cases} \] Решим эти неравенства: 1. \( 0.925 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.925} \approx 1.081 \) 2. \( 0.05 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.05} = 20 \) 3. \( 0.02 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.02} = 50 \) 4. \( 0.005 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.005} = 200 \) Самое строгое ограничение — это по алюминию: \( M \leq \approx 1.081 \) **Значит, максимально возможный объем сплава:** \[ \boxed{ M \approx 1.081 \text{ тонн} } \] --- ### **Шаг 5. Подсчет остатков металлов** При этом объеме: - Алюминий: \(0.925 \times 1.081 \approx 1.0\, \text{тонны}\) - Медь: \(0.05 \times 1.081 \approx 0.054\, \text{тонны}\) - Магний: \(0.02 \times 1.081 \approx 0.022\, \text{тонны}\) - Марганец: \(0.005 \times 1.081 \approx 0.0054\, \text{тонны}\) Исходно было: - Алюминий: 1 тонна, осталось: \(1 - 1.0 = 0\) тонн - Медь: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.054 = 0.946\) тонн - Магний: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.022 = 0.978\) тонн - Марганец: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.0054 \approx 0.9946\) тонн --- ### **Ответ:** **После изготовления максимально возможного количества дюралюминия останутся больше всего марганца и алюминия, но алюминия — практически полностью использовано.** **На складе останется больше всего — марганца, около 0,995 тонн.** --- ## Итог: На складе больше всего металла останется **марганца** (примерно 0,995 тонн).