Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца.…
Дюралюминий — сплав, необходимый для строительства самолетов. Основа сплава — алюминий, легирующие компоненты (в процентах по массе): ~ 5% меди, ~ 2% магния и ~ 0,5% марганца. Несмотря на огромные трудности в 1941 г., связанные с началом Великой Отечественной войны, благодаря самоотверженному труду советских металлургов объём выпуска цельнометаллических самолётов сократился совсем незначительно, а с 1942 г. их производство росло ускоренными темпами. Представьте, что на склад доставлены металлические слитки алюминия, меди, магния и марганца. Каждого металла по одной тонне. Выплавка дюралюминия проводится в точном соответствии с прописью. Какого металла на складе останется больше, чем остальных?
Давайте внимательно проанализируем задачу и шаг за шагом решим её.
Исходные данные:
- На складе по одной тонне каждого металла (алюминий, медь, магний, марганец).
- Требуется изготовить дюралюминий в соответствии с пропорциями:
- Алюминий — основа сплава
- Медь — около 5%
- Магний — около 2%
- Марганец — около 0,5%
Задача: определить, какого металла останется больше после изготовления максимально возможного объема дюралюминия.
Шаг 1. Определение пропорций в сплаве
Обозначим:
- \( A \) — масса алюминия
- \( Cu \) — масса меди
- \( Mg \) — масса магния
- \( Mn \) — масса марганца
Из условия:
- \( Cu \) составляет примерно 5% от общей массы сплава
- \( Mg \) — около 2%
- \( Mn \) — около 0,5%
- Алюминий — основная часть, остальные компоненты — по их частям.
Шаг 2. Задача максимизации массы сплава
Для простоты предположим, что количество каждого металла — 1 тонну.
Нам нужно изготовить максимально возможное количество сплава, соблюдая пропорции, не превышая количество доступных металлов.
Шаг 3. Вычисление количества сплава по каждому металлу
Пусть \( M \) — масса дюралюминия, который мы можем изготовить.
Из пропорций:
Медь составляет 5% от массы:
\(\quad Cu = 0.05 \times M \)Магний — 2%:
\(\quad Mg = 0.02 \times M \)Марганец — 0,5%:
\(\quad Mn = 0.005 \times M \)Алюминий — оставшаяся часть, равна:
\(\quad A = M - (Cu + Mg + Mn) \)
Подставим:
\[ A = M - (0.05 M + 0.02 M + 0.005 M) = M - 0.075 M = 0.925 M \]
Итак:
- Алюминий: \(0.925 M\)
- Медь: \(0.05 M\)
- Магний: \(0.02 M\)
- Марганец: \(0.005 M\)
Шаг 4. Ограничения по доступным металлам
На складах изначально есть по 1 тонне каждого металла:
\[ \begin{cases} 0.925 M \leq 1 \quad \text{(алюминий)} \\ 0.05 M \leq 1 \quad \text{(медь)} \\ 0.02 M \leq 1 \quad \text{(магний)} \\ 0.005 M \leq 1 \quad \text{(марганец)} \end{cases} \]
Решим эти неравенства:
- \( 0.925 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.925} \approx 1.081 \)
- \( 0.05 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.05} = 20 \)
- \( 0.02 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.02} = 50 \)
- \( 0.005 M \leq 1 \Rightarrow M \leq \frac{1}{0.005} = 200 \)
Самое строгое ограничение — это по алюминию: \( M \leq \approx 1.081 \)
Значит, максимально возможный объем сплава:
\[ \boxed{ M \approx 1.081 \text{ тонн} } \]
Шаг 5. Подсчет остатков металлов
При этом объеме:
- Алюминий: \(0.925 \times 1.081 \approx 1.0\, \text{тонны}\)
- Медь: \(0.05 \times 1.081 \approx 0.054\, \text{тонны}\)
- Магний: \(0.02 \times 1.081 \approx 0.022\, \text{тонны}\)
- Марганец: \(0.005 \times 1.081 \approx 0.0054\, \text{тонны}\)
Исходно было:
- Алюминий: 1 тонна, осталось: \(1 - 1.0 = 0\) тонн
- Медь: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.054 = 0.946\) тонн
- Магний: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.022 = 0.978\) тонн
- Марганец: 1 тонна, осталось: \(1 - 0.0054 \approx 0.9946\) тонн
Ответ:
После изготовления максимально возможного количества дюралюминия останутся больше всего марганца и алюминия, но алюминия — практически полностью использовано.
На складе останется больше всего — марганца, около 0,995 тонн.
Итог:
На складе больше всего металла останется марганца (примерно 0,995 тонн).
