Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы вдвое, а если бы зарплата жены сократилась впятеро, то общий…
Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы вдвое, а если бы зарплата жены сократилась впятеро, то общий доход семьи сократился бы на 32 процента . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия их сына-студента?
Давайте разберем задачу по шагам.
Обозначения:
- Пусть \( m \) — зарплата мужа.
- Пусть \( w \) — зарплата жены.
- Пусть \( s \) — стипендия сына.
- Пусть \( T \) — общий доход семьи (сумма всех доходов): \( T = m + w + s \).
Цели:
- Выразить изменения в общем доходе при изменениях зарплат.
- На основе данных найти процент стипендии \( s \) от общего дохода \( T \).
Условие 1: Увеличение зарплаты мужа в 3 раза, и доход увеличивается в 2 раза:
После увеличения зарплаты мужа в 3 раза: \[ m_{\text{новое}} = 3m \]
Новый общий доход: \[ T_{\text{новое}} = 3m + w + s \]
По условию: \[ T_{\text{новое}} = 2T = 2(m + w + s) \]
Запишем: \[ 3m + w + s = 2(m + w + s) \]
Раскроем скобки: \[ 3m + w + s = 2m + 2w + 2s \]
Перенесем все в левую сторону: \[ 3m + w + s - 2m - 2w - 2s = 0 \]
Объединим подобные: \[ (3m - 2m) + (w - 2w) + (s - 2s) = 0 \] \[ m - w - s = 0 \]
Получаем первое уравнение: \[ \boxed{ m = w + s } \]
Условие 2: Ужесточение зарплаты жены в 5 раз и снижение дохода на 32%:
Если зарплата жены сократится в 5 раз: \[ w_{\text{новое}} = \frac{w}{5} \]
Новый доход: \[ T' = m + \frac{w}{5} + s \]
По условию: \[ T' = T - 32\% \text{ от } T = 0,68T \]
Запишем: \[ m + \frac{w}{5} + s = 0.68 (m + w + s) \]
Раскроем: \[ m + \frac{w}{5} + s = 0.68m + 0.68w + 0.68s \]
Перенесем все в левую сторону: \[ m - 0.68m + \frac{w}{5} - 0.68w + s - 0.68s = 0 \]
Вычислим: \[ (1 - 0.68)m + \left(\frac{w}{5} - 0.68w\right) + (1 - 0.68)s = 0 \] \[ 0.32m + \left(\frac{w}{5} - 0.68w\right) + 0.32s = 0 \]
Объединим внутренние выражения с \( w \): \[ \frac{w}{5} - 0.68w = w \left(\frac{1}{5} - 0.68\right) \]
Вычислим: \[ \frac{1}{5} = 0.2 \] \[ 0.2 - 0.68 = -0.48 \] \[ \therefore \frac{w}{5} - 0.68w = -0.48w \]
Теперь уравнение: \[ 0.32m - 0.48w + 0.32s = 0 \]
Решение системы уравнений:
Имеем две уравнения:
\( m = w + s \)
\( 0.32m - 0.48w + 0.32s = 0 \)
Подставим \( m = w + s \) из первого уравнения во второе:
\[ 0.32(w + s) - 0.48w + 0.32s = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 0.32w + 0.32s - 0.48w + 0.32s = 0 \]
Объединим подобные:
\[ (0.32w - 0.48w) + (0.32s + 0.32s) = 0 \] \[ -0.16w + 0.64s = 0 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 0.64s = 0.16w \]
Выразим \( s \):
\[ s = \frac{0.16}{0.64} w = \frac{16}{64}w = \frac{1}{4}w \]
Теперь, зная \( s \) относительно \( w \):
\[ s = \frac{1}{4}w \]
Также из первого уравнения:
\[ m = w + s = w + \frac{1}{4}w = \frac{5}{4}w \]
Итоговые соотношения:
\[ \boxed{ m = \frac{5}{4} w, \quad s = \frac{1}{4} w } \]
Общий доход \( T \):
\[ T = m + w + s = \frac{5}{4}w + w + \frac{1}{4}w \]
Объединим:
\[ T = \left(\frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4}\right)w = \left(\frac{5}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}\right)w = \frac{10}{4}w = \frac{5}{2}w \]
Искомый процент:
Стипендия сына составляет \( s = \frac{1}{4}w \), а весь доход \( T = \frac{5}{2}w \). Искомый процент:
\[ \frac{s}{T} \times 100\% = \frac{\frac{1}{4}w}{\frac{5}{2}w} \times 100\% \]
Сократим \( w \):
\[ = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{2}} \times 100\% = \frac{1/4}{5/2} \times 100\% \]
Деление дробей:
\[ = \frac{1/4}{5/2} = \frac{1/4 \times 2/5}{1} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \]
Следовательно, процент:
\[ \frac{1}{10} \times 100\% = 10\% \]
Ответ:
Стипендия сына составляет 10% от общего дохода семьи.
