Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы вдвое, а если бы зарплата жены сократилась впятеро, то общий доход семьи сократился бы на 32 процента . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия их сына-студента?

Давайте разберем задачу по шагам. Обозначения: - Пусть \( m \) — зарплата мужа. - Пусть \( w \) — зарплата жены. - Пусть \( s \) — стипендия сына. - Пусть \( T \) — общий доход семьи (сумма всех доходов): \( T = m + w + s \). Цели: 1. Выразить изменения в общем доходе при изменениях зарплат. 2. На основе данных найти процент стипендии \( s \) от общего дохода \( T \). --- ### Условие 1: Увеличение зарплаты мужа в 3 раза, и доход увеличивается в 2 раза: После увеличения зарплаты мужа в 3 раза: \[ m_{\text{новое}} = 3m \] Новый общий доход: \[ T_{\text{новое}} = 3m + w + s \] По условию: \[ T_{\text{новое}} = 2T = 2(m + w + s) \] Запишем: \[ 3m + w + s = 2(m + w + s) \] Раскроем скобки: \[ 3m + w + s = 2m + 2w + 2s \] Перенесем все в левую сторону: \[ 3m + w + s - 2m - 2w - 2s = 0 \] Объединим подобные: \[ (3m - 2m) + (w - 2w) + (s - 2s) = 0 \] \[ m - w - s = 0 \] Получаем первое уравнение: \[ \boxed{ m = w + s } \] --- ### Условие 2: Ужесточение зарплаты жены в 5 раз и снижение дохода на 32%: Если зарплата жены сократится в 5 раз: \[ w_{\text{новое}} = \frac{w}{5} \] Новый доход: \[ T' = m + \frac{w}{5} + s \] По условию: \[ T' = T - 32\% \text{ от } T = 0,68T \] Запишем: \[ m + \frac{w}{5} + s = 0.68 (m + w + s) \] Раскроем: \[ m + \frac{w}{5} + s = 0.68m + 0.68w + 0.68s \] Перенесем все в левую сторону: \[ m - 0.68m + \frac{w}{5} - 0.68w + s - 0.68s = 0 \] Вычислим: \[ (1 - 0.68)m + \left(\frac{w}{5} - 0.68w\right) + (1 - 0.68)s = 0 \] \[ 0.32m + \left(\frac{w}{5} - 0.68w\right) + 0.32s = 0 \] Объединим внутренние выражения с \( w \): \[ \frac{w}{5} - 0.68w = w \left(\frac{1}{5} - 0.68\right) \] Вычислим: \[ \frac{1}{5} = 0.2 \] \[ 0.2 - 0.68 = -0.48 \] \[ \therefore \frac{w}{5} - 0.68w = -0.48w \] Теперь уравнение: \[ 0.32m - 0.48w + 0.32s = 0 \] --- ### Решение системы уравнений: Имеем две уравнения: 1. \( m = w + s \) 2. \( 0.32m - 0.48w + 0.32s = 0 \) Подставим \( m = w + s \) из первого уравнения во второе: \[ 0.32(w + s) - 0.48w + 0.32s = 0 \] Раскроем скобки: \[ 0.32w + 0.32s - 0.48w + 0.32s = 0 \] Объединим подобные: \[ (0.32w - 0.48w) + (0.32s + 0.32s) = 0 \] \[ -0.16w + 0.64s = 0 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 0.64s = 0.16w \] Выразим \( s \): \[ s = \frac{0.16}{0.64} w = \frac{16}{64}w = \frac{1}{4}w \] Теперь, зная \( s \) относительно \( w \): \[ s = \frac{1}{4}w \] Также из первого уравнения: \[ m = w + s = w + \frac{1}{4}w = \frac{5}{4}w \] ### Итоговые соотношения: \[ \boxed{ m = \frac{5}{4} w, \quad s = \frac{1}{4} w } \] Общий доход \( T \): \[ T = m + w + s = \frac{5}{4}w + w + \frac{1}{4}w \] Объединим: \[ T = \left(\frac{5}{4} + 1 + \frac{1}{4}\right)w = \left(\frac{5}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}\right)w = \frac{10}{4}w = \frac{5}{2}w \] --- ### Искомый процент: Стипендия сына составляет \( s = \frac{1}{4}w \), а весь доход \( T = \frac{5}{2}w \). Искомый процент: \[ \frac{s}{T} \times 100\% = \frac{\frac{1}{4}w}{\frac{5}{2}w} \times 100\% \] Сократим \( w \): \[ = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{2}} \times 100\% = \frac{1/4}{5/2} \times 100\% \] Деление дробей: \[ = \frac{1/4}{5/2} = \frac{1/4 \times 2/5}{1} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \] Следовательно, процент: \[ \frac{1}{10} \times 100\% = 10\% \] --- ## Ответ: **Стипендия сына составляет 10% от общего дохода семьи.**