Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Вероятность поймать рыбу за одно закидывание: ( p = \frac{1}{4} )
- Вероятность НЕ поймать рыбу за одно закидывание: ( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} )
- Число закидываний: ( n = 6 )
- Нужно найти вероятность, что Лёша поймает рыбу только при втором и пятом закидывании, а в остальных — нет.
Шаг 1: Что означает условие?
Лёша поймает рыбку только при втором и пятом закидываниях. Это значит:
- В 1-й, 3-й, 4-й и 6-й закидываниях он НЕ поймает рыбу.
- В 2-й и 5-й — он поймает рыбу.
Шаг 2: Запишем вероятность наших событий
Вероятность, что:
- В конкретном закидывании он поймает рыбу: ( p = \frac{1}{4} )
- В конкретном закидывании он не поймает рыбу: ( q = \frac{3}{4} )
Значит, искомая вероятность:
[
P = P(\text{поймать только во 2-м и 5-м закидываниях})
]
так как закидывания — независимые события, то:
[
P = P(\text{не поймать в 1-м}) \times P(\text{поймать в 2-м}) \times P(\text{не поймать в 3-м}) \times P(\text{не поймать в 4-м}) \times P(\text{поймать в 5-м}) \times P(\text{не поймать в 6-м})
]
Подставим значения:
[
P = q \times p \times q \times q \times p \times q
]
Шаг 3: Вычислим результат
Подставим числа:
[
P = \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{3}{4} \right)
]
Переставим чтобы было удобнее:
[
P = p \times p \times q \times q \times q \times q
]
где:
- ( p ) — это ловля рыбы (два раза)
- ( q ) — это неподъем (4 раза)
Шаг 4: Вычислим числитель и знаменатель
[
P = \left( \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \right)
]
[
P = \frac{1}{16} \times \frac{81}{256}
]
Теперь перемножим:
[
P = \frac{1 \times 81}{16 \times 256} = \frac{81}{4096}
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{81}{4096}
}
]
Это и есть искомая вероятность того, что Лёша поймает рыбу только во 2-м и 5-м закидывании.
